Nombre heureux

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En mathématiques, un nombre entier est un nombre heureux si, lorsqu'on calcule la somme des carrés de ses chiffres dans son écriture en base dix puis la somme des carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, on aboutit au nombre 1.

On peut démontrer qu'en appliquant un tel processus, à partir d'un entier quelconque non nul, on finit pour boucler sur un des cycles suivants : {1}, ou {4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20}. Un nombre est malheureux quand il boucle sur le cycle long.

De manière plus formelle, on considère un entier positif t, puis on définit la suite t_0,t_1,t_2\ldots\,\!t_0 = t\,\! et t_{i+1} est égal à la somme des carrés des chiffres de t_i\,\!. t est dit heureux si la suite aboutit à 1 à partir d'un certain nombre de termes, c’est-à-dire que pour un certain indice i, t_i = 1\,\! (à partir de cet indice, tous les t_j\,\! sont égaux à 1 et la suite est constante).

Ainsi, 7 est heureux, puisque la suite associée est :

t_1 = 7^2 = 49\,
t_2 = 4^2 + 9^2 = 97\,
t_3 = 9^2 + 7^2 = 130\,
t_4 = 1^2 + 3^2 + 0^2 = 10\,
t_5 = 1^2 + 0^2 = 1\,

Liste de nombres heureux[modifier | modifier le code]

Par construction, les termes d'une suite définie par cette méthode sont soit tous heureux (ou joyeux), soit tous malheureux (ou tristes).

Les soixante premiers termes de la suite des nombres heureux rangés par ordre croissant sont : 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376

Le nombre de nombres heureux inférieurs ou égaux à 1, à 10, à 100, à 1 000 vaut (respectivement) 1, 3, 20 et 143

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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