Nombre heureux

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En mathématiques, un entier naturel est un nombre heureux si, lorsqu'on calcule la somme des carrés de ses chiffres dans son écriture en base dix puis la somme des carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, on aboutit au nombre 1.

On peut démontrer qu'en appliquant un tel processus, à partir d'un entier quelconque non nul, on finit pour boucler sur un des cycles suivants : {1}, ou {4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20}. Un nombre est malheureux quand il boucle sur le cycle long.

De manière plus formelle, on considère un entier positif t, puis on définit la suite d'entiers t_0,t_1,t_2\ldotst_0 = t\,\! et t_{i+1} est égal à la somme des carrés des chiffres de t_i. t est dit heureux si la suite aboutit à 1 à partir d'un certain nombre de termes, c’est-à-dire que pour un certain indice i, t_i = 1\,\! (à partir de cet indice, tous les t_j sont égaux à 1 et la suite est constante).

Exemples[modifier | modifier le code]

Le nombre 7 est heureux, puisque sa suite associée est :

t_1 = 7^2 = 49\,
t_2 = 4^2 + 9^2 = 97\,
t_3 = 9^2 + 7^2 = 130\,
t_4 = 1^2 + 3^2 + 0^2 = 10\,
t_5 = 1^2 + 0^2 = 1.

Dès que dans la suite associée à un nombre on rencontre 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42 ou 20, la suite devient périodique et le nombre en question est malheureux, puisque 4^2 = 16,\quad 1^2 + 6^2=37,\quad 3^2 + 7^2=58,\quad 5^2 + 8^2=89,\quad 8^2 + 9^2=145,\quad 1^2 + 4^2 + 5^2=42,\quad 4^2 + 2^2=20,\quad 2^2 + 0^2=4.

Liste de nombres heureux[modifier | modifier le code]

Par construction, les termes d'une suite définie par cette méthode sont soit tous heureux (ou joyeux), soit tous malheureux (ou tristes).

Les dix plus petits nombres heureux sont : 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44 (suite A007770 de l'OEIS). Les autres entiers entre 1 et 44 sont donc malheureux (suite A031177 de l'OEIS).

Le nombre de nombres heureux inférieurs ou égaux à 1, à 10, à 100, à 1 000, etc. vaut (respectivement) 1, 3, 20 et 143, etc. (suite A068571 de l'OEIS).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Résidu d'un entier naturel

Liens externes[modifier | modifier le code]


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