Multirésolution

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En mathématiques, une approximation multirésolution désigne une suite de sous-espaces vectoriels vérifiant un ensemble de caractéristiques.

Définition[modifier | modifier le code]

Une suite $(V_{j})_{j\in \mathbb {Z} }$ de sous-espaces vectoriels fermés de $L 2 (R)$ est une approximation multirésolution si elle vérifie les cinq propriétés suivantes^[1] :

$\forall j\in \mathbb {Z} \quad V_{j+1}\subset V_{j}$
${\overline {\bigcup _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}}}=L^{2}(\mathbb {R} ){\text{ et }}\bigcap _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}=\{0\}$
$\forall j\in \mathbb {Z} \quad f\in V_{j}\iff f(2\cdot )\in V_{j+1}$
$\forall (j,k)\in \mathbb {Z} ^{2}\quad f\in V_{j}\iff f(\cdot -2^{-j}k)\in V_{j}$
Il existe $\theta \in V_{0}$ tel que $\left(\theta (\cdot -n)_{n\in \mathbb {Z} }\right)$ soit une base de Riesz de $V_{0}$ .

↑ (en) Stéphane Mallat, « Multiresolution approximations and wavelet orthonormal bases of $L 2 (R)$ », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 315, n^o 1,‎ 1989, p. 69-87 (DOI 10.2307/2001373, lire en ligne).

Yves Meyer, Ondelettes et opérateurs, vol. I, Hermann, 1990