Moyenne empirique

En théorie des probabilités, la moyenne empirique d’un échantillon de variables aléatoires réelles ou vectorielles $(X_{1},..,X_{n})$ est défini par la moyenne arithmétique des variables : ${\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$.

Cette moyenne constitue ainsi un estimateur sans biais de l’espérance pour la loi commune des variables $X_{1},...,X_{n}$. Lorsque cette loi a une variance finie $\sigma ^{2}$, la moyenne empirique a pour variance $\sigma ^{2}/n$, ce qui en fait aussi un estimateur convergent. Elle permet aussi de définir d’autres estimateurs, comme celui de la variance $S^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}$ ou de son équivalent sans biais ${S^{*}}^{2}={\frac {n}{n-1}}S^{2}$.

La moyenne empirique est très utilisée en application du théorème central limite, qui stipule qu’elle converge en loi vers la loi normale dont l’espérance et la variance sont celles des variables $X_{1},...,X_{n}$. Elle donne lieu ainsi à l’expression d’intervalles de confiance. Dans le cas où les variables $X_{1},...,X_{n}$ suivent déjà la loi normale ou une autre loi stable, la moyenne empirique suit le même type de loi.

Voir aussi

Bibliographie

• Gilbert Saporta, Probabilités, analyse de données et statistique §12.2.1 « Étude de la statistique ${\overline {X}}$ », Éditions TECHNIP, Paris 2011.

Liens internes

• Estimateur (statistique)
• Moyenne arithmétique