Lemme de Siegel

En approximation diophantienne, le lemme de Siegel est un théorème d'existence d'une solution non nulle et de grandeur contrôlée à un système d'équations linéaires homogène à coefficients entiers (relatifs) ayant strictement plus d'inconnues que d'équations. Il est d'usage courant dans les démonstrations de transcendance. Les solutions ainsi contrôlées sont obtenues à l'aide de fonctions auxiliaires (en). L'existence de ces polynômes avait été démontrée par Axel Thue grâce au principe des tiroirs de Dirichlet.

Énoncé

L'énoncé le plus simple est le suivant :

Soit $A=(a_{i,j})$ une matrice à m lignes et n colonnes, dont les coefficients sont des entiers non tous nuls. Si n > m, alors le système

$\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}=0\quad (i=1,\dots ,m)$

admet une solution $(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}\setminus \{(0,\dots ,0)\}$ telle que

$\max _{i}|x_{i}|\leq \left(n\max _{i,j}|a_{i,j}|\right)^{\frac {m}{n-m}}$.

Enrico Bombieri et Jeffrey Vaaler ont obtenu une majoration plus fine, par des techniques de géométrie des nombres.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Siegel's lemma » (voir la liste des auteurs).

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