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Inégalités de Newton

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En mathématiques, les inégalités de Newton découvertes par le mathématicien Isaac Newton relient entres elles les fonctions symétriques élémentaires.

Soient a1, a2, … , an des nombres réels strictement positifs et, pour k = 1, 2, … , n, les moyennes symétriques Sk définies par

Les numérateurs de ces expressions sont les fonctions symétriques élémentaires en les variables a1, a2, … , an. Le coefficient binomial au dénominateur est le nombre de termes du numérateur conformément à la définition d'une moyenne arithmétique. est la moyenne arithmétique, et la moyenne géométrique.

Alors, les inégalités de Newton s'écrivent, pour et en posant [1]:

Ces inégalités sont strictes, sauf si tous les ai sont égaux.

Par exemple, pour , les inégalités de Newtons s'écrivent et .

Articles connexes

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Références

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  • Mohammed Aassila, 100 chalenges mathématiques, Analyse, Ellipses, , p. 294-296
    • Isaac Newton, Arithmetica universalis: sive de compositione et resolutione arithmetica liber,
    • Mathématiques de la matrice DS Bernstein : Théorie, faits et formules (2009, Princeton) p.   55
    • Maclaurin, « A second letter to Martin Folks, Esq.; concerning the roots of equations, with the demonstration of other rules in algebra, », Philosophical Transactions, vol. 36, nos 407–416,‎ , p. 59–96 (DOI 10.1098/rstl.1729.0011)
    • Whiteley, « On Newton's Inequality for Real Polynomials », The American Mathematical Monthly, The American Mathematical Monthly, Vol. 76, No. 8, vol. 76, no 8,‎ , p. 905–909 (DOI 10.2307/2317943, JSTOR 2317943)
    • Niculescu, « A New Look at Newton's Inequalities », Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, vol. 1, no 2,‎ (lire en ligne)