Intégrale de Frullani

En analyse mathématique, les intégrales de Cauchy- Frullani, portant les noms d'Augustin Cauchy et de Giuliano Frullani sont des intégrales impropres de la forme

$\int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad (a,b>0)$.

Si f est localement intégrable sur l'intervalle ouvert $\left]0,+\infty \right[$ et admet une limite finie aux deux bornes, alors l'intégrale converge et

$\int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x=(f(\infty )-f(0))\ln {\frac {a}{b}}$.

Démonstration

On a, par changement de variable, $I=\int _{\varepsilon }^{A}{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{a\varepsilon }^{aA}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{b\varepsilon }^{bA}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{aA}^{bA}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t$

Donc $I=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)-f(0)}{t}}\,\mathrm {d} t+f(0)\ln {\frac {b}{a}}-\int _{aA}^{bA}{\frac {f(t)-f(\infty )}{t}}\,\mathrm {d} t-f(\infty )\ln {\frac {b}{a}}$

Donc $\int _{\varepsilon }^{A}{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x-(f(\infty )-f(0))\ln {\frac {a}{b}}=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)-f(0)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{aA}^{bA}{\frac {f(t)-f(\infty )}{t}}\,\mathrm {d} t$, d'où le résultat en faisant tendre $\varepsilon$ vers 0 et $A$ vers l'infini.

Historique

La formule ci-dessus se trouve sans démonstration dans une lettre de Frullani datée de 1821, et a été démontrée par Cauchy en 1823.

Application

En prenant $f(x)=\mathrm {e} ^{-x}$, on obtient $\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-ax}-\mathrm {e} ^{-bx}}{x}}\mathrm {d} x=\ln {\frac {b}{a}}$, dont on déduit $\int _{0}^{1}{\frac {t^{a-1}-t^{b-1}}{\ln t}}\mathrm {d} t=\ln {\frac {a}{b}}$.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Frullani integral » (voir la liste des auteurs).
• (en) Ralph Palmer Agnew, « Mean values and Frullani integrals », Proc. A.M.S., vol. 2,‎ 1951, p. 237-241 (lire en ligne)
• (en) Juan Arias-de-Reyna, « On the Theorem of Frullani », Proc. A.M.S., vol. 109, n^o 1,‎ 1990, p. 165-175 (lire en ligne)
• (en) Bruce C. Berndt, « Ramanujan's Quarterly Reports », Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 16, n^o 5,‎ 1984, p. 295-357 (lire en ligne) : voir p. 313-318
• (en) G. Boros et V. Moll, Irresistible Integrals, 2004 (lire en ligne), p. 98
• Augustin-Louis Cauchy, « Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux différentielles partielles et à coefficients constants », dans Journal de l'École polytechnique, 1823 (lire en ligne), p. 512-592 : p. 576 (Œuvres complètes, série 2, tome 1, p. 275-357 : p. 339)
• Augustin-Louis Cauchy, « Sur la transformation des fonctions d'une seule variable en intégrales doubles », dans Exercices de mathématiques, 1827 (lire en ligne), p. 112-124 : p. 122 (Œuvres complètes, série 2, tome 7, p. 146-159 : p. 157)
• (en) A. M. Ostrowski, « On some generalizations of th Cauchy-Frullani integral », PNAS, vol. 35,‎ 1949, p. 612-616 (lire en ligne)

Voir aussi

• Intégrale paramétrique
• Table d'intégrales