Hiérarchie de Chomsky

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Hiérarchie de Chomsky, avec classes de langages et classes d'automates associés.

En informatique théorique, en théorie des langages, et en calculabilité, la hiérarchie de Chomsky est une classification des langages formels et des grammaires formelles, décrite par Noam Chomsky en 1956[1].

Les classes de langages L0, L1, L2, L3 (chaque langage étant un ensemble de mots) de la hiérarchie sont strictement imbriquées : L3 \subsetneq L2 \subsetneq  L1 \subsetneq  L0 \subsetneq U. Ici U est l'univers de tous les langages.

Définition[modifier | modifier le code]

Une grammaire formelle est constituée de quatre objets :

  • T : ensemble fini de symboles terminaux, appelé alphabet terminal ;
  • N : ensemble fini de symboles non terminaux ou alphabet des variables ;
  • R : ensemble fini de règles ;
  • S (S\in N) : axiome (symbole de départ).

Les alphabets T et N sont disjoints. L'alphabet terminal est parfois noté \Sigma ou A. Dans la suite, on note V=T\cup N.

Une règle est un couple (x,y) de mots sur V, avec la condition que x contient au moins une variable. On écrit souvent x\to y au lieu de (x,y).

Une dérivation immédiate du mot u en le mot v consiste à remplacer, dans u, une occurrence de x par y ; en d'autres termes, u dérive immédiatement en v par l'emploi de la règle (x,y) si u=pxs et v=pys pour des mots p et s. Une dérivation est une suite de dérivations immédiates consécutives. En d'autres termes, la dérivation est la fermeture réflexive et transitive de la relation de dérivation immédiate.

Le langage engendré par une grammaire est l'ensemble des mots sur l'alphabet terminal, donc ne contenant plus de variables, que l'on peut dériver à partir de l'axiome S.

Les règles d'une grammaire définissent les lois d’enchâssement des mots du langage. Les langues naturelles ont une grammaire bien plus complexe que celle des langages de programmation ; il n’est pas possible de la formaliser entièrement de cette façon.

Quatre classes de grammaires et de langages[modifier | modifier le code]

Chomsky a défini quatre classes de grammaires, nommées de type 0 à type 3, et donc aussi quatre classes de langages, engendrés par ces grammaires hiérarchiquement imbriquées. Les langages de type 0 sont les plus généraux: ce sont les langages récursivement énumérables. Ils contiennent les langages de type 1, les langages contextuels, en anglais « context-sensitive ». Les langages de type 2 sont appelés langage algébriques ou « hors contexte », en anglais « context-free ». Ils contiennent eux-mêmes les langages de type 3, les langages « réguliers » ou langages rationnels. Parfois, on ajoute une dernière classe, composée des langages finis.

Type 0 : grammaires générales[modifier | modifier le code]

Aucune restriction n'est imposée aux règles. Elles ont la forme :

\alpha \rightarrow \beta\quad\quad(\alpha \in V^*NV^*, \beta \in V^*)

Ces grammaires génèrent la classe des langages récursivement énumérables. Ce sont exactement les langages reconnaissables par machine de Turing. Le problème de l'appartenance d'un mot à un langage de cette classe est indécidable.

Type 1 : grammaires contextuelles[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Grammaire contextuelle.

Les règles sont de la forme :

\alpha A\beta \rightarrow \alpha\gamma\beta\qquad(A \in N, \alpha,\beta,\gamma \in V^*,\gamma \neq \varepsilon)

Autrement dit, toute règle comprend un non-terminal entouré de deux mots qui décrivent le contexte dans lequel la variable peut être remplacée. Ces grammaires sont dites contextuelles (en anglais context-sensitive), car le remplacement d'un élément non-terminal peut dépendre des éléments autour de lui : son contexte. Les langages produits, appelés langages contextuels ou sensibles au contexte, sont exactement ceux reconnus par une machine de Turing non déterministe à mémoire linéairement bornée, appelés couramment automates linéairement bornés. D'autres formulations équivalentes existent pour les grammaires définissant les langages contextuels.

Type 2 : grammaires non contextuelles ou algébriques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Grammaire non contextuelle.

Les règles sont de la forme :

A \rightarrow \gamma\qquad(A \in N, \gamma \in V^*)

Ce sont des grammaires contextuelles où le contexte est vide, ce qui signifie que les symboles non terminaux sont traités indépendamment de la place où ils apparaissent. Ces grammaires engendrent exactement les langages algébriques, appelés aussi langages hors contexte, langages acontextuels, ou langages non contextuels. Ils sont reconnus par un automate à pile.

Type 3 : grammaires régulières[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Grammaire régulière.

Les grammaires régulières sont soit les grammaires linéaires à gauche ou les grammaires linéaires à droite :

  • Dans les grammaires linéaires à gauche, les règles sont de la forme :
A \rightarrow Ba,\quad A \rightarrow a\qquad(A,B \in N, a \in T)
  • Dans les grammaires linéaires à droite, les règles sont de la forme :
A \rightarrow aB,\quad A \rightarrow a\qquad(A,B \in N, a \in T)

Les grammaires régulières engendrent les langages rationnels. En effet, une grammaire régulière se transforme facilement en un automate fini (théorème de Kleene).

On ne peut pas autoriser les deux types de règles simultanément dans une grammaire sans sortir la classe des langages rationnels : on obtient les grammaires linéaires qui constituent une classe intermédiaire entre le type 2 et le type 3. Les règles d'une grammaire linéaire sont de la forme :

A \rightarrow aBb,\quad A \rightarrow a\qquad(A,B \in N, a,b \in T\cup\varepsilon)

Récapitulation[modifier | modifier le code]

Grammaire Langage Automate Règles de production
Type-0 récursivement énumérable Machine de Turing \alpha \rightarrow \beta
Type-1 contextuel Automate linéairement borné \alpha A\beta\rightarrow\alpha\gamma\beta
Type-2 algébrique Automate à pile non déterministe A \rightarrow \gamma
Type-3 rationnel Automate fini A \rightarrow aB,\quad A \rightarrow a

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Langages réguliers :
    a^*b^*,\quad (aaab)^*,\quad \{a^{3i} : i>0\}.
  • Langages algébriques qui ne sont pas rationnels :
    \{a^i b^i : i>0\}\,, l'ensemble des palindromes (qui est même un langage linéaire, comme le précédent), le langage de Dyck
  • Langages contextuels qui ne sont pas algébriques :
    \{a^i b^i c^i : i>0\},\quad \{a^i b^k c^i d^k : i>0, k>0\},\quad \{uu : u\in\{a,b\}^*\}.

Voir aussi les exemples sur la page grammaire formelle. La théorie des langages formels dispose de nombreux outils pour affirmer, ou infirmer, le type d'un langage (rationnel, algébrique etc.). La construction explicite d'une grammaire reconnaissant un langage donné n'est pas toujours facile.

Raffinement de la hiérarchie de Chomsky[modifier | modifier le code]

La hiérarchie originale de Chomsky comprenait quatre classes. On peut facilement en ajouter d'autres[2],[3],[4] :

  • entre le type 0 et le type 1, les langages récursifs, qui sont acceptés par les machines de Turing qui s'arrêtent toujours ;
  • entre le type 1 et le type 2, les langages à grammaires indexées (en), définis par des grammaires plus générales que les grammaires contextuelles ;
  • entre le type 2 et le type 3, les langages algébriques déterministes, pour lesquels il existe une caractérisation par automate, mais pas par les grammaires[5].

Les grammaires d'arbres adjoints[6],[7] définissent une famille entre les langages algébriques et les langages contextuels. Ils sont acceptés par les automates à à pile embarquéee (en)[8]. Ces grammaires font partie des grammaires qui permettent de mieux cerner la structure des langues naturelles, regroupés sous le nom langage légèrement sensible au contexte (en)[9].

D'autres raffinements existent, qui montrent que la structure n'est pas « linéaire » : par exemple, si l'on compare les langages linéaires et les langages algébriques déterministes, on s’aperçoit que ces familles ne sont pas contenues l'une dans l'autre.

Extension de cette hiérarchie[modifier | modifier le code]

La hiérarchie de Chomsky concerne uniquement le domaine du calculable défini paradigmalement par ce que peut calculer une machine de Turing. Au delà existent d'autres hiérarchies de langages dont la hiérarchie arithmétique.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Noam Chomsky,
    • 1959a On certain formal properties of grammars, Information and Control 2, p. 137–67.
    • 1959b A note on phrase structure grammars, Information and Control 2, p. 393–95.
    • 1962 Context-free grammars and pushdown storage, RLE Quart.Prog. Rept. No. 65. Cambridge, Mass., MIT.
  • Daniel I. A. Cohen, Introduction to Computer Theory, John Wiley & Sons,‎ 1997
  • Peter Linz, An introduction to Formal Languages and Automata, Jones and Bartlett,‎ 2001, 3e éd. (ISBN 978-0763714222)

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Noam Chomsky, « Three models for the description of language », IRE Transactions on Information Theory, no 2,‎ 1956, p. 113–124 (lire en ligne)
  2. Cohen, 1997, Chap. 30 : The Chomsky Hierarchy
  3. Hopcroft, Ullman 1979, Chap. 9 : The Chomsky Hierarchy. La réédition de cet ouvrage en 2001 avec Rajeev Motwani ne comporte plus ce chapitre.
  4. Linz, 2001, Chap. 11.4 : The Chomsky Hierarchy.
  5. Hopcroft, Ullman 1979, Chap. 10 : Deterministic context-free languages.
  6. A.K. Joshi, L.S. Levy, et M. Takahashi, « Tree adjunct grammars », Journal of Computer Systems Science, 10(1), 1975.
  7. Unification-Based Tree Adjoining Grammars
  8. (en) K. Vijay-Shanker, « A Study of Tree-Adjoining Grammars », Ph.D. Thesis, University of Pennsylvania,‎ janvier 1988
  9. voir aussi : Robert McNaughton, «An insertion into the Chomsky hierarchy?», Jewels are forever, 1999, pages 204-212, et T. Jurdziński, K. Lorys, G. Niemann, F. Otto, «Some results on RWW- and RRWW-automata and their relation to the class of growing context-sensitive languages», Journal of Automata, Languages and Combinatorics (en), Volume 9 Numéro 4, Octobre 2004

Articles connexes[modifier | modifier le code]