Formule de Weizsäcker

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La formule de Weizsäcker, appelée aussi formule de Bethe-Weizsäcker, est une formule semi-empirique donnant une valeur approximative de l'énergie de liaison nucléaire B caractérisant la liaison entre les nucléons qui constituent le noyau des atomes (voir un résumé dans Modèle de la goutte liquide). Son nom provient des inventeurs de la formule, à savoir Carl Friedrich von Weizsäcker et Hans Bethe.

Expression[modifier | modifier le code]

B(A, Z)= a_vA - a_sA^\frac{2}{3} - a_c\frac{Z (Z-1)}{A^{\frac{1}{3}}} - a_a\frac{(A-2Z)^2}{A} \pm a_pA^{-\frac{1}{2}}
Courbe représentant l'énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de nucléons dans le noyau.

B est l'énergie de liaison, A est le nombre de masse (ou nombre de nucléons contenus dans le noyau A = Z+N), Z est le nombre de protons.

Les valeurs des constantes utilisées sont (en MeV) :

  • av = 15,56
  • as = 17,23
  • ac = 0,7
  • aa = 23,6
  • ap = 11,2

Il existe différents jeux de paramètres pour la formule de Weizsäcker. Le choix du jeu de paramètres se définit en fonction des noyaux étudiés. Ainsi certains jeux de paramètres donneront des énergies de liaison plus précises pour les noyaux stables tandis que d'autres jeux donneront des résultats plus satisfaisant pour les noyaux exotiques.

Cette formule permet d'expliquer avec une bonne approximation la courbe d'Aston (ci-contre), qui représente l'énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de nucléons dans le noyau. C'est une courbe expérimentale car chaque énergie de liaison y est calculée à partir de la masse du noyau atomique mesurée par spectrométrie de masse.

Explication des différents termes[modifier | modifier le code]

La formule de Bethe-Weizsäcker fait apparaitre cinq termes :
\,B=E_v+E_s+E_c+E_a+E_p.


Pour expliquer ces différents termes, il faut supposer que le noyau est sphérique, de rayon R_0. Et comme il est compact (son volume est proportionnel au nombre de nucléons A), alors R_0 est proportionnel à A^{1/3}.

Énergie de volume[modifier | modifier le code]

Pour expliquer le premier terme, on peut utiliser une analogie avec un gaz parfait pour lequel l'énergie interne est proportionnelle au nombre de particules constituant le gaz. Ainsi, on pose que cette énergie de volume E_v est proportionnelle à A. Elle permet d'expliquer les forces nucléaires de courtes portées, et la saturation des forces nucléaires :
\,E_v = a_v A.

Énergie de surface[modifier | modifier le code]

La notion de tension de surface sur une goutte liquide peut être utilisée pour interpréter le second terme. En effet, les nucléons à la surface du noyau sont en contact avec moins de nucléons que ceux du centre. L'énergie de liaison en est donc diminuée. Ainsi on introduit l'énergie de surface E_s, proportionnelle à la surface du noyau :
\,E_s = -a_s A^{2/3}.
Le fait que la surface du noyau soit liée au nombre de nucléons est logique. Couramment, on fait l'approximation suivante[1] :
\,r = r_0 A^{1/3}

r : le rayon du noyau.
\,r_0 = 1,2 fm : le rayon d'un nucléon.
A : le nombre de masse du nucléide considéré.

La surface d'une sphère étant \,S=4 \pi r^{2}, en remplaçant r par son approximation :
\,S = 4 \pi (r_0 A^{1/3})^{2} = 4 \pi r_0^{2} A^{2/3} = C A^{2/3}
Avec C une constante définie par : \,C = 4 \pi r_0^{2}, donc le coefficient de surface \,a_s dépend de -C.

Répulsion électrostatique[modifier | modifier le code]

Les protons étant tous chargés positivement, ils se repoussent mutuellement. Cela participe à diminuer l'énergie de liaison par un terme de répulsion électrostatique E_c. Dans une approximation grossière, le noyau peut être considéré comme une sphère avec une densité de charge uniforme. L'énergie potentielle d'une telle distribution de charge est donnée par :

E = \frac{3}{5} \left( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \right) \frac{Q^{2}}{R}

Q est la charge totale, R le rayon de la sphère. En identifiant Q à Ze et en prenant le rayon proportionnel à A^{1/3}, on obtient la forme du terme coulombien. Cependant, la répulsion coulombienne n'existe que lorsqu'il y a plus d'un proton ce qui induit que Z^2 devient Z(Z-1). La valeur de a_c peut être calculée approximativement en utilisant l'équation ci-dessus :

R = r_0 A^{\frac{1}{3}}
Q = Ze
Z^2 = Z(Z - 1)

E_c = \frac{3}{5} \left( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \right) \frac{Q^{2}}{R} = \frac{3}{5} \left( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \right) \frac{(Ze)^{2}}{(r_0 A^{\frac{1}{3}})} = \frac{3 e^2 Z^2}{20 \pi \epsilon_{0} r_0 A^{\frac{1}{3}}} = \frac{3 e^2 Z(Z - 1)}{20 \pi \epsilon_{0} r_0 A^{\frac{1}{3}}} = a_{C} \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}

L'énergie potentielle de la distribution de charge est donc :

E_c = \frac{3 e^2 Z(Z - 1)}{20 \pi \epsilon_{0} r_0 A^{\frac{1}{3}}}

La constante a_c du terme de répulsion électrostatique est :

a_{c} = \frac{3 e^2}{20 \pi \epsilon_{0} r_0}

Une autre valeur de a_c peut être obtenue en utilisant la constante de structure fine :

a_{C} = \frac{3}{5} \left( \frac{\hbar c \alpha}{r_0} \right)

\alpha est la constante de structure fine, r_0 A^{1/3}, le rayon du noyau avec r_0 qui vaut approximativement 1,25 femtomètres. Cela donne une valeur théorique de a_c de 0,691 MeV ce qui est peu éloigné des valeurs mesurées.

a_c=0,691 MeV

Énergie d'asymétrie[modifier | modifier le code]

La répulsion électrostatique étant en compétition avec l'interaction forte pour stabiliser le noyau, les noyaux lourds ont besoin d'un surplus de neutrons afin que cette interaction forte contrebalance l'effet de la répulsion électrostatique. Il y a donc une asymétrie du nombre de neutrons par rapport au nombre de protons. Cela n'a, a priori, aucun autre effet sur l'énergie de liaison que ceux qui ont été étudiés plus haut. En réalité, un effet quantique va jouer un rôle : les nucléons se trouvent sur des niveaux d'énergie, ce qui fait qu'un surplus de neutrons va augmenter leur énergie. On obtient alors que l'effet sur l'énergie de liaison s'écrit : E_a=-a_a\frac{(N-Z)^2}{A}=-a_a\frac{(A-2Z)^2}{A}.

Énergie d'appariement[modifier | modifier le code]

Un deuxième effet quantique joue un rôle dans l'énergie de liaison : les nucléons ayant un spin demi-entier ont tendance à s'apparier deux à deux, pour se grouper préférentiellement en nombre pair. Ainsi, un nombre impair de neutrons ou de protons sera moins stable.
Une formule empirique permet de rendre compte de cet effet en ajoutant à l'énergie de liaison une énergie d'appariement (ou de parité) E_p ayant différentes valeurs selon qu'il y a un nombre pair ou impair de nucléons, neutrons ou protons :
E_p=a_p\left\{
\begin{matrix} +A^{-\frac{1}{2}}  & \mbox{cas pair-pair (A pair, Z pair, N pair) }\;\;\;\;\;\;\;\; \\ 0  & \mbox{cas pair-impair (A impair, Z  et N de parité différente)}\;\;\;\; \\ -A^{-\frac{1}{2}}  & \mbox{cas impair-impair (A pair, Z impair, N impair) }
\end{matrix}\right.

Les noyaux ayant un nombre pair de nucléons, neutrons et protons sont plus stables que ceux ayant un nombre impair de nucléons eux mêmes plus stables que ceux ayant un nombre pair de nucléons et impair de neutrons et protons, donc l'énergie de liaison varie en conséquence.

Utilisation de la formule[modifier | modifier le code]

Équation de la vallée de la stabilité[modifier | modifier le code]

Pour un nombre de masse donné A, on s'aperçoit que la formule de Bethe-Weizsäcker fournit une équation quadratique en fonction de la charge Z. On a ainsi :

B_A(Z) = (-a_c A^{-\frac{1}{3}} - 4 a_a A^{-1})Z^2 + (a_c A^{-\frac{1}{3}} + 4 a_a) Z + (a_v - a_a) A - a_s A^{\frac{2}{3}} \pm a_p A^{-\frac{1}{2}}

Par définition, les noyaux stables sont définis comme étant des noyaux qui minimisent l'énergie de liaisonB_A(Z). Ainsi en cherchant les valeurs de Z qui annulent la dérivée B_A(Z) par rapport à Z, on peut obtenir une équation donnant les noyaux de la vallée de stabilité.

\frac{\partial B_A(Z)}{\partial Z} = 0 \rightarrow Z = \frac{a_c A^{-\frac{1}{3}} + 4 a_a}{2(a_c A^{-\frac{1}{3}} + 4 a_a A^{-1})} \approx {1\over 2} {A\over 1 + A^{2/3} \frac{a_c}{4 a_a}}

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. http://www.sciences-en-ligne.com/DIST/Data/Ressources/lic2/chimie/chi_gen/chimie_structurale/noyau_atomique.htm

Articles connexes[modifier | modifier le code]