Fonction d'Euler

Module de $\phi$ dans le plan complexe, coloré de sorte que noir=0, rouge=4.

En mathématiques, la fonction d'Euler est donnée par

$\phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}).$

Elle est nommée d'après Leonhard Euler, et elle constitue un exemple type du q-analogue d'une série. C'est une forme modulaire, et elle fournit un exemple typique d'interaction entre combinatoire et analyse complexe. On peut écrire la définition de $\phi$ comme produit infini de façon compacte grâce au symbole de Pochhammer : $\phi (q):=(q,q)_{\infty }.$

Propriétés

Le coefficient $p(k)$ du développement en série formelle de $1/\phi (q)$ est le nombre de partitions de l'entier $k$. Formellement,

${\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}$.

L'identité d'Euler, aussi appelé le théorème des nombres pentagonaux, est l'identité

$\phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}.$

Dans cette somme, les nombres $n(3n-1)/2$ sont les nombres pentagonaux généralisés.

La fonction d'Euler est liée à la fonction êta de Dedekind. Pour tout nombre complexe $\tau$ de partie imaginaire positive, on définit $q=e^{2i\pi \tau }$ (c'est le carré du nome (en)), et la fonction êta est

$\eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})=q^{1/24}\phi (q)$.

Les deux fonctions possèdent les symétries du groupe modulaire. La fonction d'Euler s'exprime aussi simplement à l'aide du q-symbole de Pochhammer :

$\phi (q)=(q;q)_{\infty }$

Le logarithme de la fonction d'Euler est la somme des logarithmes des facteurs du produit ; chacun peut être développé autour de q = 0, ce qui donne :

$\ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}$

qui est une série de Lambert avec coefficients $-1/n$. Le logarithme de la fonction d'Euler s'exprime donc par :

$\ln(\phi (q))=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}\quad$ avec $\displaystyle \quad b_{m}=-\sum _{n|m}{\frac {1}{n}}$.

La suite des $-b_{m}$ est la suite A000203 de l'OEIS.

Références

• (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics », 1976, 340 p. (ISBN 0-387-90163-9, lire en ligne)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euler function » (voir la liste des auteurs).