Fonction d'Euler

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Module de \phi dans le plan complexe, coloré de sorte que noir=0, rouge=4.
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En mathématiques, la fonction d'Euler est donnée par

\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k).

Elle est nommée d'après Leonhard Euler, et elle constitue un exemple type du q-analogue d'une série. C'est une forme modulaire, et elle fournit un exemple typique d'interaction entre combinatoire et analyse complexe.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Le coefficient p(k) du développement en série formelle de 1/\phi(q) est le nombre de partitions de l'entier k. Formellement,

\frac{1}{\phi(q)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) q^k.

L'identité d'Euler, aussi appelé le théorème des nombres pentagonaux, est l'identité

\phi(q)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}.

Dans cette somme, les nombres (3n^2-n)/2 sont les nombres pentagonaux.

La fonction d'Euler est liée à la fonction êta de Dedekind. Pour tout nombre complexe \tau de partie imaginaire positive, on définit q = e^{2i\pi\tau} (c'est le carré de la nome (en)), et la fonction êta est

\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n}).

L'identité de Ramanujan est l'expression

\phi(q)= q^{-1/24} \eta(\tau)

Les deux fonctions possèdent les symétries du groupe modulaire. La fonction d'Euler s'exprime aussi simplement à l'aide du q-symbole de Pochhammer :

\phi(q)=(q;q)_\infty

Le logarithme de la fonction d'Euler est la somme des logarithmes des facteurs du produit ; chacun peut être développé autour de q=0, ce qui donne :

\ln(\phi(q))=-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\,\frac{q^n}{1-q^n}

qui est une série de Lambert avec coefficients -1/n. Le logarithme de la fonction d'Euler s'exprime donc par :

\ln(\phi(q))=\sum_{m=1}^\infty b_m q^m\quad avec \displaystyle\quad b_m=-\sum_{n|m}\frac{1}{n}.

La suite des -b_m est la suite A000203 de l'OEIS.

Référence[modifier | modifier le code]

  • Tom Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics »,‎ 1976 (ISBN 0-387-90163-9)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euler function » (voir la liste des auteurs)