Q-symbole de Pochhammer

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En combinatoire, le q-symbole de Pochhammer est un symbole permettant de noter facilement certains produits. C'est l'élément de base des q-séries. C'est le q-analogue du symbole de Pochhammer défini par Leo Pochhammer.

Définition et notations[modifier | modifier le code]

Le q-symbole de Pochhammer est[1] :

(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})

avec

(a;q)_0 = 1.

On peut étendre la notation à des produits infinis :

(a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k).

On note parfois (a)_n=(a;q)_n, lorsqu'il est clair que la variable est q.

Fonctions génératrices de partitions[modifier | modifier le code]

Un grand nombre de fonctions génératrices représentant des partitions peuvent être exprimées de façon compacte avec ces symboles. Par exemple la série génératrice du nombre de partitions : \sum_0^{\infty}p(n)q^n, où p(n) est le nombre de partitions de l'entier n, peut s'écrire :

\sum_0^{\infty}p(n)q^n = \prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-q^n} = \frac{1}{(q;q)_{\infty}}

Notons que l'on retrouve ici l'inverse de la fonction d'Euler.

Identités[modifier | modifier le code]

L'une des identités les plus simples est l'identité binomiale (exprimée ici avec la notation compacte) :

\sum_{n \geq 0} \frac{(a)_n}{(q_n)_n}z^n=\frac{(az)_{\infty}}{(z)_{\infty}}

On peut aussi réécrire des théorèmes, comme le théorème des nombres pentagonaux : (q;q)_{\infty}=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{\left(\frac {k(3k-1)}{2} \right)}, ou encore le triple produit de Jacobi.

Les calculs sur les q-séries permettent aussi de trouver des égalités entre objets combinatoires sans expliciter de bijection, c'est le cas par exemple des identités de Rogers-Ramanujan.

Note et références[modifier | modifier le code]

Note[modifier | modifier le code]

  • (en) Georges Gasper, Lecture notes for an introductory minicourse on q-series, arXiv,‎ 1995 (lire en ligne)

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Eric W. Weisstein, « q-Series », MathWorld