q-analogue

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En mathématiques, plus précisément dans le domaine de la combinatoire, un q-analogue d'un théorème, d'une identité ou d'une expression est une généralisation impliquant un nouveau paramètre q qui se spécialise en le théorème originel lorsque l'on prend le cas limiteq tend vers 1. Typiquement, les mathématiciens sont intéressés par les cas où un q-analogue intervient naturellement, plutôt que par les cas où on ajoute arbitrairement un paramètre q à un théorème déjà connu. Les premiers q-analogue étudiés en détail furent les séries hypergéométriques basiques, qui furent introduites au XIXe siècle[1].

Les q-analogues trouvent des applications dans plusieurs domaines, incluant l'étude des fractales, la théorie des nombres, et des expressions de l'entropie de systèmes dynamiques chaotiques. Les q-analogues apparaissent aussi dans l'étude des groupes quantiques et des superalgèbres (en) q-déformées[réf. souhaitée].

Il y a deux groupes principaux de q-analogues : les q-analogues classiques, qui furent introduits dans le travail de Leonhard Euler et furent ensuite étendus par Frank Hilton Jackson (en)[2], et les q-analogues non-classiques[3].

q-théorie classique[modifier | modifier le code]

La q-théorie classique commence par la définition des q-analogues des entiers positifs[3]. L'égalité

\lim_{q\rightarrow 1}\frac{1-q^n}{1-q}=n

suggère que l'on peut définir le q-analogue de l'entier n comme étant

[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q} = 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n - 1}.

En lui-même, le choix de ce q-analogue particulier parmi tous les choix qui étaient possibles n'a pas de justification. Cependant, ce q-analogue choisi apparait naturellement dans plusieurs contextes. Par exemple, si on décide d'utiliser [n]q comme étant le q-analogue de n, on peut définir le q-analogue de la factorielle, connue sous le nom de q-factorielle, par

\big[n]_q! =[1]_q  \cdot [2]_q \cdots [n-1]_q  \cdot [n]_q
=\frac{1-q}{1-q} \cdot \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \cdot \frac{1-q^n}{1-q}
=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2}) \cdot (1+q+\cdots + q^{n-1}).

Ce q-analogue de la factorielle apparait ainsi naturellement dans le cas suivant : alors que n! compte le nombre de permutations de longueur n, [n]q! est la série génératrice des permutations de longueur n compté avec un poids égal au nombre d'inversion de ces permutations. C'est-à-dire que si on note inv(w) le nombre d'inversion de la permutation w et que Sn est l'ensemble des permutations de longueur n, on a :  \sum_{w \in S_n} q^{\text{inv}(w)} = [n]_q ! .

En particulier, on retrouve la factorielle classique en prenant la limite q\rightarrow 1.

La q-factorielle a aussi une définition concise en termes de q-symboles de Pochhammer :

[n]_q!=\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}.

À partir de la q-factorielle, on peut alors définir les coefficients q-binomiaux ou coefficients binomiaux de Gauss (en), qui sont les q-analogues des coefficients binomiaux


\binom{n}{k}_q
=
\frac{[n]_q!}{[n-k]_q! [k]_q!},

souvent notés plutôt \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]_q[4].

Cela permet alors de définir un q-analogue de l'exponentielle

e_q^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{[n]_q!},

puis de définir des q-analogues des fonctions trigonométriques et hyperboliques, ainsi qu'un q-analogue de la transformée de Fourier.

Applications[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) H. Exton, q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538.
  2. (en) F. H. Jackson, « On q-functions and a certain difference operator », Trans. Roy. Soc. Edin., vol. 46, 1908, p. 253-281.
  3. a et b (en) Thomas Ernst, « A Method for q-calculus », Journal of Nonlinear Mathematical Physics, vol. 10, no 4,‎ 2003, p. 487–525 (lire en ligne)
  4. Cf. par exemple (en) Eric W. Weisstein, « q-binomial coefficient », MathWorld ou (en) « Umbral calculus », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer,‎ 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).