Ensemble tonnelé

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En analyse fonctionnelle et dans les domaines proches de mathématiques, un ensemble tonnelé ou un tonneau dans un espace vectoriel topologique est un ensemble qui est convexe, absorbant, fermé et équilibré (de manière mnémotechnique, c'est un tonneau de c.a.f.é.).

Définition[modifier | modifier le code]

Un ensemble E d'un K-espace vectoriel topologique X (où K est un corps valué non discret qui est une \R-algèbre) est tonnelé s'il est :

Remarques.

  • Seule la dernière propriété (fermé) est topologique.
  • Pour qu'un convexe E soit équilibré (on dit aussi « cerclé »), il suffit que \forall \lambda \in K, |\lambda|=1 \Rightarrow \lambda E\subset E.
  • Une partie E est un convexe équilibré si et seulement si elle est absolument convexe : \forall \lambda,\mu \in K, |\lambda|+|\mu|\le 1 \Rightarrow \lambda E+\mu E\subset E.
  • Pour qu'une partie équilibrée E soit absorbante, il suffit que tout vecteur de X soit l'homothétique d'un vecteur de E : KE=X.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les tonneaux ont des propriétés intéressantes essentiellement dans le cas localement convexe. En effet, soit E un espace localement convexe (sur le corps des réels ou des complexes), E^\prime son dual et T une partie de E. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) T est un tonneau ;
(b) T est le polaire d'un ensemble M convexe, équilibré et fortement borné dans E^\prime ;
(c) il existe une semi-norme p sur E, semi-continue inférieurement, telle que T soit l'ensemble des x \in E satisfaisant à p(x) \le 1.

Ces équivalences sont une conséquence du théorème des bipolaires (donc du théorème de Hahn-Banach).

Exemples[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Espace tonnelé, un espace vectoriel topologique séparé où tout ensemble tonnelé est un voisinage de 0.