Discussion:Théorème des valeurs extrêmes

L'article sur le théorème de la valeur intermédiaire

devrait être enrichi d'une démonstration topologique fondé sur le fait que l'image d'un connexe et un connexe.

Il faut ajouter dans l'article sur la construction des réels les propriétés de base qui ont justifié sa construction, par exemple que tout ensemble borné admet une borne supérieure et inférieure. Jean-Luc W 26 novembre 2005

Argument de complétude

J'ai indiqué dans l'introduction que ce théorème reposait plutôt sur la complétude que sur la compacité car il est vrai sur n'importe quel ensemble ordonné complet, mais j'hésite à retranscrire la démonstration dans un cadre aussi général. Pour ceux qui doutent que l'hypothèse de compacité soit plus forte, il est possible de considérer l'ensemble des suites à valeurs dans [0 ; 1] muni de l'ordre lexicographique : il est complet au sens de la théorie des ordres mais non compact pour la topologie associée (qui n'est pas la topologie produit). Ambigraphe, le 28 mai 2010 à 13:49

Dommage ... j'aurais bien aimé lire un joli théorème généralisant tout ça aux treillis complets (que j'avais un peu regardé entre-temps laissant une question en PdD) Anne 7 juin 2010 à 00:32

Sur un ordre partiel, même complet, le théorème des bornes est faux en général. L'exemple le plus simple est l'espace E={0;1}² muni de l'ordre produit. Sa topologie n'est pas discrète car elle ne distingue pas les points (0;1) et (1;0), mais les deux autres points sont isolés. Il est alors facile de vérifier la continuité de l'application de E dans lui-même qui à (1;1) associe (0;0) et qui fixe les autres points. La borne supérieure des valeurs n'est pas atteinte.

Pour plusieurs raisons de ce type (non-séparation, parties fermées non complètes dans un complet), j'évite la topologie de l'ordre dans un ensemble partiellement ordonné. De mon point de vue, sa définition généralise mal la topologie de l'ordre d'un ensemble totalement ordonné.

Avec la double hypothèse d'un ordre total complet, il est cependant relativement aisé de démontrer le théorème des bornes. Si f est une fonction continue d'un ensemble totalement ordonné complet E dans un ensemble totalement ordonné F, alors l'ensemble des points en lesquels la fonction atteint sa borne supérieure est un fermé dont le plus petit élément est :

$\sup _{x\in E}\inf f^{-1}([f(x);+\infty [)$

La démonstration tient en quelques lignes mais je n'ai pas de source imprimée. Ambigraphe, le 7 juin 2010 à 20:37

Sur la nouvelle démonstration

J'apprécie l'élégance de la nouvelle démonstration qui semble tenir en quelques lignes seulement. Mais il me semble que l'affirmation

Alors pour tout x de [a,b] on a f ( x ) ≤ f ( d_x ) ≤ f ( d ),

comporte un point un peu obscur : je n'arrive pas à saisir quel argument naturel permettrait de dire que f ( d_x ) ≤ f ( d ). Anne, peux-tu m'éclairer sur ce point ? Merci. HB (d) 8 juin 2010 à 08:16

Mince ! tu as raison. Je viens d'auto-reverter en urgence et je vais chercher si c'est réparable. Merci pour ta vigilance, et ta politesse. Anne 8 juin 2010 à 12:33

Je crois qu'on peut y arriver mais cela me semble un peu long:

pour tout x et y , si, $d_{x}<d_{y}$ alors $f(x)<f(d_{y})$ (en effet si $d_{x}<d_{y}$ il existe un réel t qui appartient $D_{x}$ sans appartenir à $D_{y}$, pour ce réel t, $f(x)\leq f(t)<f(y)\leq f(d_{y})$)

de même, si $d_{x}=d_{y}$ alors $f(x)\leq f(d_{y})$.

Pour tout x de [a;b], d étant le sup des $d_{y}$, c'est aussi le sup des $d_{y}$ supérieurs ou égaux à $d_{x}$, et par passage à la limite dans l'inégalité$f(x)\leq f(d_{y})$ on a$f(x)\leq f(d)$

Mais reconnaissons que cette version est aussi longue que celle que tu viens de remettre en ligne. HB (d) 8 juin 2010 à 16:03

OK ! j'ai tardé à te répondre parce que j'ai mis du temps à apprivoiser ton idée. Voilà ce que ça donne (mais ce "polissage" est sans doute insuffisant pour supplanter la version actuelle, alors Ambi, je donne ma langue au chat : quelle était ta preuve ? ) :

f est croissante sur l'ensemble des $d_{x}$ puisqu'on a même :

$t<d_{y}\Rightarrow f(t)<f(y)\Rightarrow f(t)<f(d_{y})\ ,$

la première implication venant du fait que l'ordre à à l'arrivée est supposé total lui aussi, et la seconde venant de $f(y)\leq f(d_{y})\ .$

Le sup de f sur cet ensemble existe donc et vaut $f(d)$.

Mais comme pour tout x on a $f(x)\leq f(d_{x})$, le sup de f sur [a,b] tout entier existe aussi et lui est égal.

Anne 9 juin 2010 à 14:33

Oui Ambigraphe, si tu as une preuve plus courte on est preneurs (preneuses ?). La version d'Anne est indéniablement plus claire que la mienne mais reste longue par rapport à la version en ligne. HB (d) 9 juin 2010 à 23:05

Non, pas plus longue (sauf si on la délaye), mais certainement plus déconcertante pour ceux, nombreux, qui sont plus à l'aise avec des suites qu'avec des sup. Cependant, la version en ligne est moins générale : elle suppose a priori que le sup existe, donc que l'espace d'arrivée (ici : la droite réelle achevée) est complet, et suppose de plus que ce sup est limite d'une suite. Ce serait bien d'avoir une preuve qui cumule tous les avantages (courte, accessible, et générale). Peut-être en transcrivant dans le contexte ordonné la preuve topologique ? Assurément, on nage en plein TI, mais sous contrôle mutuel, et faut bien se faire un peu plaisir de temps en temps. Anne 9 juin 2010 à 23:36

Par ailleurs, sauf erreur de ma part on ne peut simplement mettre en parallèle l'argument de compacité et la propriété de la borne supérieure, puisque la « démonstration topologique » qui est donnée fait appel au théorème de Borel-Lebesgue, lequel repose sur la propriété de la borne sup. Ambigraphe, le 8 juin 2010 à 15:51

Bon, en fait, je vois deux généralisations de ce théorème : l'une pour les fonctions définies sur un compact, l'autre pour les fonctions définies sur un ordre total complet, dans les deux cas à valeurs dans un ensemble totalement ordonné (muni de la topologie de l'ordre). Je reviens donc sur ma remarque précédente : ce théorème repose bien sur la compacité ou la complétude au sens des ordres totaux, comme l'avançait Anne Bauval. Ambigraphe, le 8 juin 2010 à 21:25

De plus, la seconde généralisation n'est qu'un cas particulier de la première puisque tout ordre total complet est compact. Anne 8 juin 2010 à 21:30

Tu as raison, je m'étais trompé plus haut. Complétude et compacité sont donc équivalentes pour un ordre total (je viens de m'en convaincre en relisant la démonstration du théorème de Borel-Lebesgue), ce qui rassemble les deux généralisations. Cela n'empêche pas que la compacité des segments réels est bien fondée sur la propriété de la borne supérieure, mais l'argument qui fait fonctionner le théorème est réduit à la seule compacité de la source. Ambigraphe, le 8 juin 2010 à 22:49

D'accord. Alors puis-je rétablir la partie hors-preuve de ma version autorévertée ? Anne 9 juin 2010 à 14:33

Tu veux parler de la précision en introduction ? Que penses-tu de :

Ce résultat repose sur la propriété de la borne supérieure dans l'ensemble des nombres réels mais peut être étendu plus généralement aux fonctions définies sur un espace compact.

Les considérations sur les ensembles totalement ordonnés complets n'apparaissant finalement que comme cas particulier, il ne me semble pas nécessaire d'en discuter dans l'introduction. Ambigraphe, le 9 juin 2010 à 16:36

Oui, de cette phrase (d'accord pour ta nouvelle, en rajoutant "continues" et "à valeurs dans un ensemble totalement ordonné") et de bricoles moins "importantes". Vue la preuve ci-dessus, pas nécessaire que l'ordre d'arrivée soit total (ou bien ?). La "preuve sans topologie" de la version actuellement en ligne devrait pouvoir être retouchée un chouïa pour donner la même chose, afin d'éviter des contorsions oratoires. Anne 9 juin 2010 à 19:29

OK pour l'intro, mais je persiste sur la nécessité d'un ordre total à l'arrivée. Dans tout ensemble ordonné contenant deux éléments non comparables, ces derniers constituent l'image d'une paire discrète (donc compacte) par une application nécessairement continue. Ni la borne supérieure ni la borne inférieure ne sont donc atteintes. Aurais-je négligé une hypothèse quelque part ? Ambigraphe, le 9 juin 2010 à 21:16

Ok : j'ai trouvé, grâce à ton contre-exemple, où sert cette hypothèse. Avais-tu une preuve plus simple que celle ci-dessus ? Anne 9 juin 2010 à 22:08

Pour le théorème des bornes dans le cas réel à la source et au but, je préfère simplifier la démonstration, quitte à l'allonger, en distinguant le fait que le sup de l'image est fini ou pas. Pour la généralisation d'un compact vers un ensemble totalement ordonné quelconque, j'ai une démonstration par l'aburde assez courte : si l'image de la fonction n'a pas de maximum, l'ensemble des ouverts de la forme $U_{x}=f^{-1}(]-\infty ;f(x)[)$ recouvre l'espace source ; en extrayant un sous-recouvrement fini $(U_{x_{i}})$, on considère le plus grand des parmi les $x_{i}$, celui d'image maximale, qui n'appartient donc à aucun des $U_{x_{i}}$. Ambigraphe, le 10 juin 2010 à 18:05

Pour le cas réel : je trouve que ta preuve préférée (2 fois plus longue, et répétitive, + raisonnement par l'absurde) n'est (en plus) pas plus simple. Pour la "démonstration assez courte" : certes, mais je reste sur ma faim par rapport à ton annonce du 28 mai et 7 juin (à l'époque où tu ne prenais pas en compte que tout ordre total complet est compact). Mais je te rejoins : à quoi bon, maintenant qu'on prend ça en compte ? Restons-en là ? (l'actuelle preuve topo, qui se généralise telle quelle d'un compact dans un totalement ordonné, et l'actuelle preuve spécifique à R) Anne 10 juin 2010 à 21:27

Bon, j'ai réduit la démonstration et caché les raisonnements par l'absurde dans les coins :

Si f est une application continue d'un ensemble totalement ordonné complet E vers un ensemble totalement ordonné.

On pose $A=\{x\in E\colon \forall y<x,f(y)<f(x)\}$ et $\alpha =\sup A$. Alors f est croissante sur A donc $f(\alpha )$ majore f sur A.

Ensuite pour tout élément x de E, l'ensemble $\{y\in E\colon f(y)\geq f(x)\}$ est un fermé qui admet un plus petit élément, lequel se trouve dans A. Donc $f(\alpha )$ majore f sur E.

Faut-il délayer ? Peut-on accepter cette démonstration ? Ambigraphe, le 11 juin 2010 à 14:49

J'étais arrivée à exactement la même chose en retravaillant mon "polissage" (du 9 juin 2010 à 14:33) de l'idée de HB, mais à quoi bon ? Cette preuve est belle et courte, mais pas aussi générale que la "preuve topologique" sur un compact sans ordre, ni aussi accessible que la (nouvelle) "preuve non topologique" sur R. Anne 11 juin 2010 à 16:33

OK. Enfin, pour lever une dernière objection, qu'est-ce qui assure que la borne supérieure est la limite d'une suite de valeurs ? Ambigraphe, le 11 juin 2010 à 22:39

C'est d'un usage si courant sur R que

- on devrait plutôt le mettre dans borne (mathématiques), non ?

- j'ai eu du mal à réaliser qu'en général (ailleurs que sur R) une suite ne suffit pas.

Anne 11 juin 2010 à 23:04

Pour répondre à ton deuxième point, je crois me souvenir qu'il n'existe pas de suite maximisante dans l'ensemble des ordinaux inférieurs à $\omega _{1}$.

Pour revenir au cas réel, mes scrupules viennent du fait que si l'on n'explicite pas la manière d'obtenir cette suite maximisante, il y a un appel implicite à l'axiome du choix, ce qui me semble un peu exagéré pour un résultat aussi élémentaire. Or le moyen le plus simple à mon avis d'expliciter une telle suite consiste à considérer les bornes inférieures d'ensembles de niveau. Du coup, c'est un peu se compliquer la vie de passer par Bolzano-Weiestrass puisque les bornes inf d'ensembles de niveau sont déjà rangés dans l'ordre croissant, ce qui nous ramène à la démonstration ci-dessus. Ambigraphe, le 12 juin 2010 à 14:37

Argh ! tu as (au moins) 2 fois raison. Ma seule issue pour te contredire (là n'étant pas l'objectif, mais creusons) sera donc de me contredire moi-même, en faisant table rase de mes interventions compulsives et irréfléchies. On se retrouve (pour R) avec (au moins ! ) :

• la preuve du 13/09/09 (qui présentait déjà les 2 défauts que tu soulignes)
• ma simplification du 18/10/09 (mélange de sups et de suites + éliminait ces 2 défauts + évitait la répétition),
• ta proposition du 11/06/10, aboutissement de notre réflexion à 3 (idem mais sans suites, donc plus "balèze"),
• mon compromis du 11/06/10 entre le 18/10 et le 13/09 (que des suites + réintroduction des 2 défauts + évite juste la répétition),
• une possibilité de faire avec que des suites et sans les 2 défauts (par dichotomie directe sur [a,b], avec x_n=l'inf de celui des deux demi-intervalles sur lequel le sup est le plus grand, ...).

Je suis perdue. Quel est l'objectif (en plus de la voie royale par les compacts) ? être mathématiquement économe ? donner la preuve la plus courante ? présenter une preuve sur R accessible aux ... ? disons bac scientifique +1 ou 2 ? et quelle proposition remplit le mieux l'objectif ? (je crois savoir que les bac+1ou2 sont, en moyenne, insensibles à l'axiome du choix, réfractaires aux sups et infs, mais familiers de l'utilisation de BW ; je reconnais que tout ça est incohérent ; je suis sans cesse tiraillée entre l'élégance et la démagogie). Et qu'en dit HB ?

Anne 14 juin 2010 à 00:06

Pas de panique. La démonstration classique avec B-W doit pouvoir être référencée et indiquée avec les réserves nécessaires. Une démonstration moins exigente en termes d'axiomes doit pouvoir être donnée ensuite, par exemple celle que tu cites avec la dichotomie, ou celle à laquelle nous avions abouti plus haut, en appuyant l'intuition par une figure qui matérialise l'ensemble A (que j'aurais tendance à appeler « ensemble de front ») et les ensembles de niveau. Enfin, il restera à démontrer la généralisation, d'un compact vers un ordre total. Ambigraphe, le 14 juin 2010 à 11:41

Weierstrass?

Quel document est a l'origine de l'affirmation que ce theoreme est du a Weierstrass? Tkuvho (d) 10 août 2010 à 13:57

Pour une réhabilitation de Bolzano? HB (d) 10 août 2010 à 15:48

Merci. Mais de quel cours de Weierstrass s'agit-il? Tkuvho (d) 10 août 2010 à 16:10

Je cherche ... Pour l'instant je n'ai trouvé que cette remarque : "C'est dans le cours de Weierstrass de 1861 qu'on trouve une première définition de la continuité (...) Dans ce même cours de 1861, Weierstrass démontre qu'une fonction continue sur un intervalle fermé borné atteint ses bornes supérieure et inférieure" dans ce document p 18, (lire aussi la note 8 de la page 25). HB (d) 10 août 2010 à 18:30

Merci beaucoup! Tkuvho (d) 10 août 2010 à 19:14

Tkuvho me dit sur ma PdD : " le 27 mai 2010 vous avez poste une modification de cette page affirmant que le theoreme des bornes est du a Weierstrass (1860). Je serai tres reconnaissant de connaitre la source de cette affirmation si possible " . Désolée : je ne sais plus où j'avais trouvé ça (à l'occasion de cette discussion) en farfouillant sous Google (ce que toute personne demandeuse d'infos supplémentaires devrait faire elle-même ; à moi ça me prend énormément de temps à cause de la vétusté de mon équipement). À 18h30 j'en étais exactement au même point qu'HB ci-dessus. Depuis, j'ai juste trouvé ce qui suit.

Extrait de la p. 207 de L'analyse au fil de l'histoire, Volume 10 de Scopos (Berlin), Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Springer, 2001, (ISBN 9783540674634)

In seinem Satze, dem zufolge eine stetige Funktion einer reellen Veränderlichen ihre obere und untere Grenze stets wirklich erreicht, d. h. ein Maximum und Minimum notwendig besitzt, schuf WEIERSTRASSS ein Hilfsmittel, dass heute kein Mathematiker bei feineren alalytischen oder arithmetischen Untersuchungen entbehren kann.

(Hilbert 1897, Gesammelte Abh., vol. 3, p. 333)

Le théorème suivant, appelé "Hauptlehrsatz" ("théorème principal") dans le cours de Weierstrass (1861), a été publié par Cantor (1870).

Je rends mon tablier. Anne 10 août 2010 à 21:21

Intitulé

Transfert de Projet:Mathématiques/Le Thé/Archives 7#Théorème des bornes et suite

Bonjour, est-ce que quelqu'un a déjà entendu cette dénomination pour ce théorème ? Si oui, ajouter une source m'agréerait. Merci d'avance, Gouffy (d) 27 mai 2010 à 11:41

Le terme de théorème des bornes atteintes semble d'usage courant[1], on rencontre aussi le nom de théorème de Weierstrass[2], [3] mais Weierstrass étant à l'origine de nombreux théorèmes, il n'est pas judicieux de choisir ce nom. HB (d) 27 mai 2010 à 13:25

J'utilisais principe du maximum, mais visiblement 1) c'est pas ça 2) y'a plein de théorèmes ayant ce nom. Je vais essayer de rédiger une page d'homonymie (pour "principe(s) du maximum"), à moins qu'un de vous veuille s'en charger (d'autant que je crois me dsouvenir qu'on rencontre aussi ça en physique) ; mais ça ne résout pas la question initiale : est-ce que le résultat de base (toute fonction continue à valeurs réelles sur un compact est bornée et atteint ses bornes) porte un nom officiel ? Qui a un Bourbaki sous la main pour contrôler ?--Dfeldmann (d) 27 mai 2010 à 17:14

J'ai fait, en même temps que HB, des recherches sous google et suis arrivée aux mêmes conclusions. J'ai donc fait le nécessaire, essentiellement en complétant Karl Weierstrass et Théorème des bornes, modifiant la redirection de Théorème de Weierstrass (qui redirigeait vers Théorème de Stone-Weierstrass et correspondait à ce qu'il vaut mieux appeler théorème d'approximation de Weierstrass) et créant Théorème des bornes atteintes, tous deux redirigés maintenant vers Théorème des bornes. Anne) 27 mai 2010 à 19:34

Les premiers liens donnés par Google pour « théorème de Weierstrass » correspondent presque tous à l'approximation polynomiale de fonction. Je propose donc de rediriger plutôt ce titre en conséquence et de résoudre l'homonymie par des bandeaux appropriés. Si personne ne s'y oppose, je procèderai à ces modifications dans les jours prochains. Ambigraphe, le 27 mai 2010 à 21:14

D'accord, et mea culpa pour ce manque de recul. J'espère que le reste est un (début de) progrès. Anne 28 mai 2010 à 00:47

Merci pour toutes les réponses, et en particulier pour les liens fournis. Gouffy (d) 29 mai 2010 à 18:51

Il me semble avoir lu dans la correspondance Lebesgue-Borel que le premier tenait en petit estime Heine. Pour lui, Heine n'avait jamais démontré le théorème qui porte son nom mais seulement le théorème des bornes attribué à Weierstrass... voir ici. Personnellement, j'appelle donc celui-ci "le petit Heine"... mais cette appellation me semble aussi peu académique que le pompeux "Weierstrass" (nom à réserver aux approximations polynomiales ou mieux : à la convergence de la décomposition des séries de Puiseux). Alors pourquoi pas théorème des bornes ? Bien qu'il s'agisse là de max et de min et non de sup et d'inf... dommage que théorème du maximum soit déjà pris ! 1 juin 2010 à 18:10 — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Jean de Parthenay (discuter)

J'ai été choquée par le renommage d'aujourd'hui « Théorème des valeurs extrêmes », à la fois parce que je ne l'avais jamais entendu appeler comme ça (sauf bien sûr en anglais), et par cette façon de procéder sans consulter personne : pourquoi pas Théorème des bornes atteintes ? Mais je dois reconnaître que les seuls livres que je trouve l'appelant « théorème des bornes » sont :

• Ramis, Warusfel et al., Mathématiques Tout-en-un pour la Licence - Niveau L1 - 2^e éd. 2013, repris dans idem Niveau L2 2014
• Freslon, Gugger et al. Mathématiques Exercices incontournables PC-PSI - 2^e éd. 2014, repris dans idem MP-MP* 2014

qui ne sont pas exploitables comme sources car ils sont postérieurs à notre article… Anne, 11/3/17

Si je grince des dents sur le côté cavalier du renommage (un passage en page de discussion n'aurait pas été inutile), j'avoue que ce renommage ne m'inspire qu'un «Pourquoi pas ? » désabusé. En effet, dans les livres de ma bibliothèque, ce théorème ne porte pas de nom. Après, on peut avoir envie de lui en donner un (du moins cela est nécessaire si on veut en faire un article sur WP). Le nom de Théorème des bornes est attesté dans au moins un livre antérieur à notre article [4]. Le nom de Théorème des valeurs extrêmes est attesté dans au moins deux livres de cours traduits de l'étranger [5], [6]. Aucun titre n'est une erreur même si aucun des deux ne suscite mon enthousiasme. HB (discuter) 12 mars 2017 à 08:48 (CET)