Discussion:Prolongement analytique

Commentaires d'avril 2010

apropos de l'unicité

Pourquoi n'est-ce pas mentionné en premier : d'une aprt c'est le plus simple et ca autorise à parler "du" prolongement (s'il existe) ? Pour la preuve il est claire que 1 implique 2 implique 3 implique 4, pourquoi ne pas se contenter d'un 4 implique 1, d'autant que ce qui me semble le plus difficile c'est bien la non vacuité de A dans ce cas ? je proposerais :

soit A l'ensemble des points admettant un voisinage où f est nulle. Alors clairement A est ouvert, un peu moins clairement fermé (considérer les dérivés de f en un point limite de point de A : elle sont toutes nulles en a et par analyticité c'est ok). Enfin A est non vide : (je ne sais pas si c'est le plus simple, mais je tente) soit a un point d'accumulation de zéros de f (ca existe par hypothèse). Si f n'était pas localement nulle alors localement f(z)=\sum_{k\geq n} a_k (z-a)^k=(z-a)^n g(z) avec a_n\neq0 et donc g(a)\neq 0 et donc, eventuellement sur un ouvert plus petit, f ne s'annule qu'en a ce qui contre-dit qu'il est limite de zéros. Alexandre alexandre (d) 6 avril 2010 à 18:37 (CEST)

a propos du premier paragraphe

En l'état, je ne le comprends presque pas : je dirais que les deux questions qui se posent sont (comme toujours me dira-t-on ?) existence et unicité. On répond en partie à l'unicité avec le théorème précedemment évoqué. Pour l'existence y'a des méthodes ad'hoc (on sort du chapeau une fonction définie sur un domaine plus grand et qui coïncide avec la fonction initiale sur un truc contenant un point d'accumulation), des trucs qu'on essaie de faire (le long d'un chemin, se repose alors le problème de l'unicité de la valeur en un point pouvant etre atteint par deux chemins différents...), des réponses négatives (serie convergente avec des singularités denses sur le "cercle d'incertitude"...), des réponses qui trichent (on fabrique le bon espace ou c'est bien défini, surface de riemann associée) et surment d'autre que j'ignore.

On parle de valdité de "la représentation" : faut-il comprendre "formule bien définie" ? mais auquel cas le prolongement ne consiste pas, la pluspart du temps à valider cette meme formule ailleurs... bref, ca ne me semble pas clair, qu'en pensez vous ? Alexandre alexandre (d) 9 avril 2010 à 15:42 (CEST)

proposition de reformulation

• petit laïus introductif

  Etant donnée une fonction holomorphe f définie sur un domaine D du plan complexe on appelle prolongement anlaytique de f toute fonction holomorphe g définie sur un domaine D' contenant D et coïncidant avec f sur D. Il se pose alors deux questions :

  • existence : est-il possible que de tels prolongements existent ? La réponse est en général non comme le suggère l'exemple d'une série entière ne convergeant pas sur un ensemble dense de son cercle d'inertitude [celui dont le rayon est le rayon de convergence, est-ce que ça a un nom dans la litterature ?]. Cependant il existe de nombreux cas ou il est possible d'étendre le domaine de définition, par des méthodes ad'hoc. On distungue toutefois quelques principes généraux [le long d'un chemin, par action d'un groupe...]
  • unicité : si (E,g) et (F,h) sont deux prolongements analytiques de (D,f) que peut-on dire de g et h sur l'intersection de E et F ? Encore une fois, rien dans le cas général, cependant si cette intersection est connexe alors g et h y sont égales, c'est l'objet du théorème dit d'unicité du prolongement analytique.
• théorème d'unicité
  [tel qu'l est actuellement]
• branches analytiques
  Un contre exemple à une unicité générale est donné par l'exmple du logarithme. Cette fonction, initialement définie sur R^*_+ étant analytique, elle admet un prolongement à un ouvert de C contenant R^*_+. Bien sûr le développement bien connu $\ln(1-z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}$ n'est valable que sur le disque ouvert de rayon 1 centré en 0... Ceci dit, on peut prolonger la fonction obtenue le long de n'importe quelle chemin injectif ne passant pas par 0. Par suite, le théorème de monodromie nous dit qu'il est possible de prolonger la fonction sur n'import quel ouvert simplement connexe ne contenant pas 0. On dispose par exemple d'un logaritme complexe sur f $\mathbb {C} \setminus i\mathbb {R} _{-}$ et d'un, g sur $\mathbb {C} \setminus i\mathbb {R} _{+}$. Mais on peut vérifier que f(-1) et g(-1) diffèrent.
  Pour pallier cette difficulté, on est donc contraint :
  • ou bien d'accepter de donner plusieurs sens à ln z, c'est le concept de fonctions multivaluées qui ne sont donc pas des applications,
  • ou bien de modifier l'espace de départ : on crée un espace qui distungue les points suivant les chemins par lesquels ont les atteints. Ceci conduit à la notion de surface de Riemann associée à une fonction.
• Singularités
  Dans l'exemple du logarithme, l'obstacle provient de la singularité en 0. Plus généralement on dit qu'un point complexe a est régulier pour (D,f) s'il existe un prolongement analytique de f à un ouvert connexe contenant a. Dans le cas contraire le point est dit singulier. Cette définition diffère légèrement de la notion de singularité. Il existe différents types de points singuliers :
  • Les plus simples sont les pôles d'ordre n>1 où a est régulier pour $z\mapsto (z-a)^{n}f(z)$, c'est le cas de 0 pour la foncion inverse,
  • Dans le cas contraire et s'il existe néanmoins un prolongement à un domaine contenant un disque ouvert juste privé de a, on parle de singularité essentielle auquel cas le prolongement se comporte violemment autour de a, c'est le cas de 0 pour $z\mapsto \exp {\frac {1}{z}}$,
  • Il n'existe pas de prolongement à un domaine contenant un disque ouvert juste privé de a et alors on peut avoir à faire à des points de branchement fini, c'est le cas de 0 pour la fonction racine carrée sur D(1,1), où même infini, c'est le cas de 0 pour le logarithme sur D(1,1).

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Alexandre alexandre (discuter), le 2 octobre 2010.

Commentaire d'avril 2012

le prolongement analytique de la fonction zeta masque un artifice par rapport à la définition de série initiale somme(1/n^s)avec la condition s>1 en passant via cet artifice de prolongement vers un monde totalement différent pour les valeurs de s <1 et particulièrement <0

bien des articles ou des présentations conservent la définition initiale dans leur texte alors que pour les valeurs négatives de s on ne se réfère plus qu'à la relation fonctionnelle.

il est dommage que la forme de série avec des nombres entiers positifs pour des valeurs de s <0 n'est pas explicitée ou n'existe tout simplement pas

En résumé, il semble que l'opération de prolongement analytique fasse basculer tout problème simple vers un autre monde mathématique, bien moins explicite et semblant à la plupart des lecteurs comme des élucubrations. C'est vraiment dommage, il doit y avoir des explications historiques de l'intérêt de faire des prolongements analytiques et quoi en attendre. Les motivations de trucs de ce genre pourraient intéresser bien des lecteurs pas trop avertis mais curieux --84.74.71.141 (d) 4 avril 2012 à 22:40 (CEST) 4 avril 2012 Montreux CH

Définition des points singuliers et réguliers

J'espérais apprendre ici une définition plus crédible et claire que dans Singularité en analyse complexe, et je tombe sur :

« Définition : u est régulier pour f quand il existe un ensemble ouvert connexe V contenant u et une application g holomorphe sur V, telle que f et g coïncident sur un ouvert W inclus dans les deux domaines de définition et ayant u pour frontière. Dans le cas contraire, le point est dit singulier. »

• Y aurait-il moyen de dire ça plus simplement ?
• Source ? (je vois bien que c'est adhoc pour le log, mais j'ai peur que ça ne traite pas correctement les ouverts biscornus)
• Pourquoi « connexe » (et en italiques, en plus) ? si cette condition est vraie pour un V quelconque, elle l'est aussi pour sa composante connexe contenant u, non ?

Anne (discuter) 24 janvier 2014 à 14:46 (CET)

Oui, c'est n'importe quoi dans tous les articles français et anglais sur la question. Je te recopie la définition de Rudin : si f est holomorphe sur un disque D, un point P de la frontière de D est régulier s'il existe un disque D' de centre P et une fonction g holomorphe sur D' telle que f et g coïncident sur D inter D' (autrement dit, on peut prolonger f analytiquement sur un voisinage de P) ; sinon, P est un point singulier. --Dfeldmann (discuter) 27 janvier 2014 à 07:12 (CET)

J'ai le Rudin (dont j'ai ajouté récemment un exemple « frappant » dans Série lacunaire) et effectivement, il se contente de ça. Je ne trouve aucune source pour la définition donnée, dans cet article-ci, quand le disque D est remplacé par un ouvert U quelconque. Et on ne peut pas s'y ramener par restriction, car un point de la frontière de U n'est pas nécessairement sur la frontière d'un disque ouvert D inclus dans U (car U peut être "pointu" en ce point). Anne (discuter) 27 janvier 2014 à 09:25 (CET)

Ah, ok ; va falloir que tu utilises autre chose (le lemme d'Abel, par exemple), pour montrer que ce type de singularité ne peut pas se produire. Chez Rudin, il se contente de se ramener au cercle unité, et de démontrer (th 16.7, je crois) que si 1 est le rayon de convergence, il y a au moins une singularité sur le cercle unité.--Dfeldmann (discuter) 27 janvier 2014 à 19:31 (CET)

Oui (16.2) mais je ne vois pas où il "se ramène" à un disque. Il semble qu'il s'y place d'emblée donc ne montre pas qu'une "singularité pointue" "ne peut pas se produire". Anne (discuter) 27 janvier 2014 à 19:51 (CET)

Tu as raison, et je réalise même que je dis une grosse bêtise (ou alors c'est maintenant), parce que si g est un homéomorphisme conforme du disque unité vers ton ouvert biscornu, et que f est une série lacunaire convenable, $f\circ g$ a des singularités sur toute la frontière de l'ouvert... Pas de doute, il nous faut des sources--Dfeldmann (discuter) 27 janvier 2014 à 22:33 (CET)