Théorème de monodromie

Le théorème de monodromie est un outil puissant d'analyse complexe pour étendre une propriété locale (de germes) à une propriété globale (de fonction). On l'utilise par exemple dans certaines preuves des théorèmes de Picard pour inverser globalement la fonction j (invariant modulaire) aux points où sa dérivée est non nulle, alors que l'inversion n'est a priori que locale.

Théorème de monodromie

Soit U ouvert connexe de ℂ, $a,b\in U$. Soit $\alpha =(a,\tau _{a}f)$ un germe de fonction analytique prolongeable le long de tout chemin dans U issu de $a$.

Si $\gamma _{1},\gamma _{2}$ sont deux chemins homotopes dans U reliant $a$ et $b$ alors ils aboutissent sur un même germe $\beta$.

De plus, si U est simplement connexe, il existe une fonction analytique sur U dont le germe en $a$ est $\alpha$.

Exemple 1

On prend

$U=\mathbb {C} ^{*},~a=1{\text{ et }}\alpha =\left(1,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(z-1)^{n}\right).$

On aura reconnu la série de la détermination principale du logarithme sur D(1, 1). Le germe se prolonge le long de tout chemin de ℂ* par la formule : $\int \limits _{\gamma }{\frac {{\rm {d}}w}{w}}.$

D'après le théorème de monodromie, on en déduit que si deux chemins γ et δ sont homotopes dans ℂ*, ils aboutissent au même germe du logarithme.

L'homotopie des chemins se lit géométriquement : « le lacet γ – δ n'entoure pas le point 0 ». En revanche si les chemins ne sont pas homotopes, on voit facilement que les germes sont distincts dans ce cas : le logarithme principal a une discontinuité de 2iπ à la traversée de la demi-droite réelle négative.

Exemple 2

Bien sûr, la simple connexité de U n'est pas une condition nécessaire : avec

$U=\mathbb {C} \setminus \lbrace 1\rbrace ,~a=0{\text{ et }}\alpha =\left(0,\sum _{k\in \mathbb {N} }z^{k}\right),$

on reconnaît la série géométrique ; elle converge uniformément sur les compacts de D(0, 1) vers $f:z\mapsto {\frac {1}{1-z}}$. Alors $f$ est analytique sur U et prolonge le germe $\alpha$ sans pour autant que U soit simplement connexe.