Discussion:Partie génératrice d'un groupe

L'article a été créé à partir des paragraphes sur le sujet développés dans les articles Sous-groupe et Groupe fini.

Yukito 16 mar 2005 à 00:32 (CET)

Refonte en cours

Je pense au plan suivant :

• Définition
  • Sous-groupe engendré
  • Partie génératrice
  • Groupe monogène
  • Groupe libre
• Exemple
  • Groupe abélien de type fini
  • Groupe symétrique
  • Groupe linéaire
• Utilisation
  • Simplicité
  • Morphisme

Les notions de croissance des groupes seraient à développer dans d'autres articles... Z'en pensez quoi ? Ekto - Plastor 23 février 2007 à 14:51 (CET)

Plus clair que ce qui est actuellement.

Il me semble qu'il faudrait regrouper dans une même rubrique les trois types : groupe monogène, groupe libre, groupe abélien de type fini

Il me semble aussi qu'on pourrait développer d'autres exemples que le groupe linéaire et le groupe symétrique.

HB 23 février 2007 à 20:50 (CET)

* avec l'article Présentation d'un groupe, il y a un gros risque de doublon (même si la recherche des générateurs seulement est une question plus simple, c'est fortement lié) : ne faudrait-il pas fusionner ?

* il me semble que chaque groupe remarquable aura sa "fiche perso", il ne faudra pas trop faire de redite. Donc contrairement à HB je ne mettrais pas trop d'exemples

En fait, je verrais bien un article global qui traite à la fois les générateurs et la présentation des groupes, et qui donne quelques grandes familles (les abéliens de type fini, les Coxeter ...), mais pas forcément une revue de détails des nombreux cas particuliers. Peps 23 février 2007 à 21:28 (CET)

Les groupes de Coxeter sont dus à la présentation des groupes finiment engendrés. Je ne suis pas favorable à une fusion entre les deux articles : ce sont des thématiques différentes. Il faut évidemment que les articles se pointent l'un vers l'autre. Un exemple tout simple : il est utile d'avoir un système de générateurs de SLn, pas forcément d'en avoir une présentation. Savoir que les transpositions engendrent Sn c'est déjà bien.

Le sujet est beaucoup trop vaste pour être traité en un seul article (il faut ajouter présentation d'un groupe, groupe finiment engendré, croissance d'un groupe, ...).

Certes, il faut limiter les exemples à ce qui est nécessaire mais ne pas les supprimer pour autant.

Ekto - Plastor 23 février 2007 à 23:47 (CET)

À mon avis, il y a deux types d'exemples différents : ceux où le groupe existe a priori, et où on cherche des générateurs pour une raison ou une autre, et ceux où on définit le groupe à partir de ses générateurs (comme "sous-groupe engendré" en fait). Typiquement, c'est le cas des groupes de Coxeter sont (peuvent être) définis comme engendrés par des réflexions dans un espace euclidien. Ce serait peut-être bien de mettre un exemple du deuxième type, et de faire remarquer la différence entre les deux. Cela dit, c'est vrai qu'il faudrait éviter une prolifération d'exemple, donc bon... (Lyoa)

Moyennement d'accord. Lorsqu'on cherche à réaliser un groupe finiment engendré comme groupe fondamental d'un CW-complexe fini, on est amené à choisir des générateurs mais à comprendre aussi les relations qui existent entre eux. Toutefois, le groupe n'a aucune raison d'être défini à partir de ses générateurs. Je dirai simplement que tout dépend l'utilisation qui est faite des générateurs. (Ektoplastor)

Ok. C'est vrai qu'à la réflexion la distinction n'est pas forcément si importante que ça.

Sinon, je trouve ce plan pas trop mal. J'ai juste une remarque à faire : à mon avis, la partie "utilisation" est trop fermée : autant il me paraît nécessaire de mettre en avant la possibilité de définir des morphismes, autant je verrais bien un paragraphe "Structure" à la place de "Simplicité", quitte à ne mettre effectivement que des théorèmes de simplicité. Avec le plan proposé, on a un peu l'impression que les morphismes et la simplicité sont les seules utilisations des parties génératrices, ce qui n'est pas le cas : par exemple, on peut effectivement faire un lien avec la croissance des groupes, qui donne des théorèmes sur la structure du groupe, etc. (Même s'il faut évidemment développer la croissance d'un groupe dans un autre article). --Lyoa 25 février 2007 à 10:52 (CET)

C'est vrai que je suis peu satisfait du terme utilisation. Je n'avais rien trouvé de mieux. Remplacer par une partie structure est en effet plus avantageuse. Mais peut-on réellement considérer les morphismes comme faisant partie de l'étude de la structure d'un groupe ? Ekto - Plastor 25 février 2007 à 11:10 (CET)

En fait je pensais plutôt à une partie "Utilisation", divisée en "Morphismes" et "Structure". C'est vrai que le terme "utilisation" n'est pas forcément excellent, mais je n'ai pas de meilleure idée... (Cela dit, avec un poil de mauvaise foi, ça doit se défendre, l'étude des morphismes comme faisant partie de la structure) --Lyoa 26 février 2007 à 20:28 (CET)

présentation finie

J'avais essayé donner un sens à cet ajout de "Certaines fois, il peut être pratique de disposer d'un algorithme permettant d'expliciter un tel produit" en brodant en effet beaucoup trop (problème du mot, décidabilité) ! mais une petite phrase contenant un lien, juste pour dire que présentation finie n'est pas la même chose que "type fini" serait, par contre, opportune je crois. Anne Bauval (d) 14 janvier 2011 à 19:30 (CET)

En effet il peut être malin d'ouvrir sur le mot présentation finie par une phrase dans l'article. Après ton souci de recycler une phrase pas d'une clarté fantastique t'honore mais ne me convainc pas. Il y a sûrement des problématiques dont on pourrait rirer des choses pour l'article, mais celle de savoir si une formule finie donne le neutre ou pas... avec la meilleure volonté ça me semble tiré par les cheveux, sauf peut-être à le développer. N'hésite pas à rétablir une mention de « présentation finie », encore que ce ne soit pas forcément si évident, le problème des mots, rebof rebof. Touriste (d) 14 janvier 2011 à 20:42 (CET)

"de type fini" utilisé à mauvais escient je pense

Bonjour. Je suis doctorant en géométrie des groupes, et pour moi un groupe engendré par une partie finie est un groupe "finiment engendré" et un groupe "de type fini" est un groupe de présentation finie (i.e. un groupe que l'on peut décrire avec un nombre fini de générateurs et de relations). Du coup à mon sens la définition de "type fini" sur cette page n'est pas celle utilisée et il faut la corriger. Qu'en pensez-vous ? --Tilwen (discuter) 26 février 2016 à 12:13 (CET)

Voir la discussion précédente titrée «présentation finie». L'article se réfère à la définition de Bourbaki :

« Un groupe est dit de type fini (resp. de présentation finie) s'il admet une représentation $<(t_{i})_{i\in I},(r_{j})_{j\in J})>$ où I est un ensemble fini (resp. où I et J sont des ensembles finis)» - Nicolas Bourbaki, algèbre page I.145.

Il est possible que le vocabulaire ait progressivement glissé. Si tu pouvais amener une source sur les définitions que tu donnes, on pourrait compléter l'article pour faire état de ce glissement de vocabulaire. HB (discuter) 26 février 2016 à 12:47 (CET)