Discussion:Nombre de Stirling

Ménage biblio

Je copie ici, au cas où, 3 items que j'enlève de la bibliographie car ils me semblent peu utiles :

• André F. Labossière, Coefficients sobaliens ⇒ ... s(n,k) comme fonction explicite de premier échelon ....
• (en) Francis L. Miksa, « Reviews and Descriptions of Tables and Books : 7[I], p. 37-38 : Stirling numbers of the first kind », Mathematical Tables and Other Aids to Computation, AMS, vol. 10, n^o 53,‎ 1956, p. 35-54 (DOI http://www.jstor.org/stable/2002617)
• (sr) Dragoslav S. Mitrinović, « O Stirling-ovim brojevima prve vrste i Stirling-ovim polinomima », Publications de la faculté d'électrotechnique de l'université de Belgrade, mathématiques et Physique n^o 23,‎ 1959, p. 1–20 (lire en ligne, consulté le 23 décembre 2010)

Anne Bauval (d) 24 décembre 2010 à 00:20 (CET)

petite erreur

[n n-1] est égal à -C(n,2) et pas (-1)^n C(n, 2) comme indiqué dans l'article. Je laisse quelqu'un d'autre faire la modification

--Joel 5632 (d) 4 janvier 2013 à 10:10 (CET)

Ne vaudrait-il pas mieux parler de matrices ?

L'article dit ceci, sous la section "Relation de réciprocité" :

"Les nombres de Stirling de première et seconde espèce peuvent être considérés comme les inverses l'un de l'autre."

C'est un peu bizarre comme formulation. En fait, si on veut parler rigoureusement, on devrait dire que pour tout nombre naturel n, la matrice (carrée) formée par les éléments des n premières lignes et des n premières colonnes de la table des nombres de Stirling de première espèce est l'inverse de la matrice correspondante extraite de la table des nombres de Stirling de seconde espèce. Évidemment, c'est plus lourd comme formulation, mais c'est plus rigoureux... (Sauf erreur, on pourrait dire aussi que la matrice infinie formée par les nombres de Stirling de première espèce est l'inverse de la matrice infinie formée par les nombres de Stirling de seconde espèce.) Marvoir (d) 27 avril 2013 à 17:38 (CEST)

Total désarroi

L'introduction du paragraphe 2, relative aux nombres de première espèce, me gêne beaucoup au niveau linguistique. L'enchaînement des deux phrases, aggravé par les mots en gras, ne permet pas de savoir ce que l'on définit exactement comme « nombres de Stirling » : s'agit-il de nombres signés, ou de leurs valeurs absolues ? Bien sûr, la suite permet de trancher, mais mettons-nous à la place d'un lecteur qui ne connaîtrait pas le sujet ! Disons que je préférerais nettement une organisation différente, par exemple :

Les nombres de Stirling de première espèce sont les coefficients du développement de

$(x)_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]x^{k}$

où (x)_n est la factorielle décroissante. Ce sont des nombres signés dont, en combinatoire, la valeur absolue compte le nombre de permutations de n éléments se décomposant en k cycles disjoints.

Et puisque nous en sommes à des considérations linguistiques, on peut jeter un coup d'œil sur la première ligne du paragraphe 2.1, qui propose un tableau des premières valeurs des nombres de Stirling. Incidemment, cela confirme bien que ce qui répond à la définition, ce sont bien les nombres signés. Mais que signifie l'expression — purement littéraire — « de la même forme que le triangle de Pascal » ? Une expression qui ne correspond à aucune définition mathématique rigoureuse ! D'autant que la récurrence triangulaire (car il y a bien une récurrence triangulaire !) n'est introduite qu'au sous-paragraphe 2.2 suivant… Bref : une tournure floue, qui n'apporte rien. Après tout, c'est la moindre des choses de présenter un tableau de valeurs à deux indices sous une forme matricielle, et il ne semble pas pédagogique d'invoquer ici le triangle de Pascal qui, pour la circonstance, ne constitue qu'un cas extrêmement particulier de récurrence triangulaire qui n'a qu'un lien très ténu avec le sujet du présent article.

Cela dit, il me semble qu'il y a plus grave. Pour en revenir à ce début du paragraphe 2, il y est écrit :

$x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](x)_{k}$

Arrêtez-moi si je dis une bêtise, mais c'est faux, non ? D'autant que nous trouvons au paragraphe 3 la relation

$\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k}=x^{n}.$

(et là, j'acquiesce). Ce n'est vraiment pas la même chose ! Ne serait-il pas opportun de mettre en accord les paragraphes 2 et 3, qui pour le moment sont violemment contradictoires ? J'avoue que c'est tellement énorme que je me dis qu'il y a quelque chose que j'ai raté. Alors, d'accord : on peut observer que le rédacteur parle à cet endroit du paragraphe 2 de factorielles croissantes, mais il convient alors de ne pas utiliser la même notation pour factorielles croissantes et décroissantes, il me semble que ce serait la moindre des choses ! Comtet (Analyse Combinatoire, PUF, 1970), note les factorielles croissantes $\scriptstyle <x>_{k}$ ; la page Wikipédia sur le Symbole de Pochhammer propose plutôt $\scriptstyle (x)^{k}$ ; en tout cas, il est indispensable d'avoir une écriture qui se distingue de celle de la factorielle décroissante.

Je me suis livré à une petite enquête. À l'origine, la formule proposée était :

$x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](x)^{k}$

où la factorielle ascendante est donc notée $(x)^{k}$ plutôt que $<x>_{k}$. Honnêtement, je ne sais pas d'où provient cette formule et franchement j'ai des doutes (mais je suis tellement déprimé par ce que je suis en train de lire et par ce que je dois écrire que je ne suis plus sûr de rien). Ce dont je suis sûr en revanche, c'est que le 23 décembre 2010, à 4h36 du matin (!!!), un contributeur anonyme (l'IP 82.225.95.47) a subrepticement transformé $(x)^{k}$ en $(x)_{k}$ et hop ! c'est resté depuis… Vous parlez d'un tour de passe-passe ! Quel cadeau de Noël ! Et en plus, c'est la seule contribution de cet IP à Wikipédia : pour un coup d'essai, c'est un coup de Maître !

Que se passe-t-il ? J'aimerais être le seul, mais je suis dans le doute le plus complet.

Pour finir, une petite formule reliant monômes et factorielles ascendantes. Une formule juste, celle-ci, et naturellement puisée chez Comtet :

$<x>_{n}=\sum _{k=1}^{n}|{\scriptstyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]}|\ x^{k}$

Hélas, même lorsque la mathématique est correcte, on est trahi par l'intendance : elle n'est pas terrible, la représentation de la valeur absolue ! Mais ceci est un autre débat…

Baron de Clappique (d) 16 juillet 2013 à 18:32 (CEST)

$<x>_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left|{\scriptstyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]}\right|\ x^{k}$ (mets-le toi-même dans l'article si tu veux)

J'ai viré la formule qui t'a heureusement tellement choqué (j'espère que tu vas mieux), elle était complètement fausse même avant d'être modifiée par l'IP et venait de la V.O., purgée depuis : cf. en:Talk:Stirling number#expansion n=3?.

J'ai lissé la phrase concernant le triangle de Pascal mais laissé cette allusion, je pense que ça peut aider plus que troubler.

Je suis d'accord pour clarifier l'intro sur les nombres de 1^re espèce mais il y a une autre chose qu'il faudrait décider avant : le choix des notations. Dans la VO de 2006 donc dans sa traduction ici, les crochets désignaient les nombres signés. Dans la VO actuelle, ils désignent les nombres non signés, ce qui semble déjà (cf. ici et là) plus conforme aux usages, mais tout de même moins judicieux que l'autre notation classique, s(n, k) pour les signés et |s(n, k)| pour les non signés, à la fois plus lisible et prêtant moins à confusion avec les coefficients de Gauss (cf. q-analogue). Il faut bien sûr signaler les 2 notations mais peut-être se limiter ensuite au s (et idem pour les 2^e espèce avec les accolades et les S). Anne (d) 16 juillet 2013 à 21:29 (CEST)

Merci mille fois pour cette prompte réaction ! Compte-tenu de mon éducation et de mon âge, j'ai une forme de culte de l'écrit et quand je vois quelque chose d'imprimé, j'ai tendance à ne pas accepter l'idée que ça puisse être faux ! Et sur ce coup, j'ai vraiment cru que je déraillais, d'autant que la formule incriminée traînait depuis un sacré moment (c'est bien simple, à l'époque, j'étais encore plus près de 60 ans que de 70 !) ; ce qui explique, concernant la formule initiale, mon expression prudente et inquiète : « et franchement j'ai des doutes ». Je suis désormais rassuré ! et la fin de soirée s'annonce plus sereine. Ouf ! Quant aux notations, il est clair (eu égard à mes références : Comtet 1970) que je suis pleinement favorable aux s(n, k) , |s(n, k)| et S(n, k) ; mais c'est vrai que le choix des notations est affaire de culture, voire de mode... et en ce domaine, je suis un peu un dinosaure. En tout cas, encore merci, vraiment merci, et bonne soirée ! Baron de Clappique (d) 16 juillet 2013 à 23:12 (CEST)

Dém

Bonjour à vous. J'ai une démonstration perso pour l'égalité entre les nombres de S de 1ère espèce (non signés) et le nombre de permutations de n objets composés d'exactement k cycles disjoints (en montrant que ce nombre vérifie la même relation de récurrence), et j'espère en trouver une dans la même veine pour la 2ème espèce : avec de la combinatoire. La politique en math c'est aussi le sourçage ou je peux la proposer ? Cordialement. Lylvic (discuter) 15 avril 2016 à 22:37 (CEST)

Opérateur différentiel

Je ne connais cela que depuis un, deux, trois, cinq ou huit jours, mais cela explique bien des choses. En tout cas cela est dit dans la version anglaise:

The differential operators $D=d/dz$ and $\vartheta =zD$ are related by the following formulas for all integers $n\geq 0$:

$\vartheta ^{n}=\sum _{k}S(n,k)z^{k}D^{k}$

$z^{n}D^{n}=\sum _{k}s(n,k)\vartheta ^{k}$

Comme on vérifie facilement le crochet de Lie :

[d/dz,z]=I en l’appliquant sur la base z^m, on a immédiatement les relations de Heisenberg, avec la constante de Planck renormalisée en 1, on est dans l’algèbre de Herman Weyl. Joli lien entre combinatoire, physique, opérateurs et théorie des langages, pour pas cher.

Création z, annihilation d/dz,

merci Gérard Duchamp. 2A01:CB16:43:A031:BC3E:B333:F4B3:CC0E (discuter) 26 janvier 2023 à 04:10 (CET)