Discussion:Fraction continue et approximation diophantienne

Constante de meilleure approximation

Un sujet passionnant à aborder serait celui des constantes de meilleure approximation.

Il est bien exposé dans le livre de Descombes éléments de théorie des nombres (PUF).--Cbigorgne (d) 31 juillet 2008 à 14:36

Merci pour ta remarque. Je dois dire que le vide abyssal de WP sur l'approximation diophantienne me fait un peu peur. Tel que je voyais les choses, ce sont les bases de cette méthode qui me semble la priorité. A part des trivialités ou des énoncés succincts de théorèmes difficile, la catégorie Approximation diophantienne est bien pauvre. J'ai imaginé une seconde traiter la transcendance de pi et de e, mais je crois que je vais attendre un peu que la catégorie s'enrichisse.

Si le coeur t'en dit ... Jean-Luc W (d) 31 juillet 2008 à 15:09

Gregory ou Brouncker ?

Dans le paragraphe Nombre de Pythagore, il est dit que James Gregory a montré que ${\frac {\pi }{4}}={\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 2}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 2}}+{\frac {5^{2}\mid }{\mid 2}}+\cdots$. N'est-ce pas plutôt William Brouncker ? Ou alors l'article veut-il dire que Gregory a montré la formule que Brouncker avait seulement énoncé ? Theon (d) 14 novembre 2008 à 10:18

C'est le genre que question un peu technique. Le résultat fût probablement démontré par plusieurs personnes à la fois. Ce résultat et la démonstration la plus connue est publiée par Brouncker et le site historique de Saint Andrew présente ce travail comme original. Je n'ai pas creusé pour connaître l'apport de Gregory sur cette question. Je n'ai pas non plus recherché d'antériorité. Jean-Luc W (d) 14 novembre 2008 à 12:29

J'ai rectifié en remplaçant "Gregory" par "Brouncker" et en supprimant la preuve de cette formule (qui était hors-sujet ici), et réécrit cette preuve dans Formule de fraction continue d'Euler, en y mentionnant l'apport ultérieur de Gregory (qui permet de généraliser la formule de Brouncker). Anne 8/3/2014

Il est dit ici que

« William Brouncker utilise cette méthode pour obtenir une approximation de π exacte à 10 décimales. Ce résultat de 1654 est publié dans : (la) John Wallis, Arithmetica infinitorum (trad. : l'arithmétique des infinitésimaux), 1655. L'attribution à Brouncker provient du site : (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « William Brouncker », sur MacTutor, université de St Andrews. »

Même MacTutor ne dit pas ça (hormis pour la date, qui est d'ailleurs plus probablement printemps 1655, d'après(en) Sergey Khrushchev, « A recovery of Brouncker's proof for the quadrature continued fraction », Publicacions Matemàtiques, vol. 50, n^o 1,‎ 2006, p. 3-42 (lire en ligne),qui s'appuie entre autres surJacqueline A. Stedall, « Catching Proteus: The collaborations of Wallis and Brouncker: I. Squaring the circle », Notes and Records of the Royal Society of London, vol. 54, n° 3, 2000, p. 293-316).On connaissait déjà 35 décimales depuis 1610, et la formule de Brouncker équivaut à celle de Leibniz donc n'est pas performante. Ce n'est que pour convaincre Huygens (à qui Wallis avait présenté en avant-première cette formule de son ami) de la véracité de sa formule (dont on se demande encore aujourd'hui quelle était sa preuve, et sur laquelle Wallis n'a fourni dans son livre que de vagues indications) qu'il a montré qu'elle était exacte au moins pour les 10 premières décimales de π.

Anne 9/3/2014 J'ai donc ôté d'ici cette phrase, et ajouté des précisions historiques dans William Brouncker et dans John Wallis. Anne 17/3/2014

Erreur à corriger ou Précision à apporter

Bonjour.

Cet article est très intéressant. Je remarque ce qui m'apparait comme une erreur :

Il est écrit : Un nombre x réel est irrationnel, si et seulement si, pour tout entier positif N il existe une fraction p / q approximant x avec une précision meilleure que 1 / 2q2 et tel que q soit supérieur à N.

Or pourtant : Si x=P/Q est un réel rationnel, alors pour tout entier positif N, la fraction p/q avec p=NP et q=NQ est telle que p/q=P/Q=x et p/q approxime x avec une précision infinie (meilleure que 1/2q2) et naturellement q=NQ est supérieur à N

Soit c'est une erreur à corriger, soit quelque chose m'échappe, qu'il serait bon d'expliciter.

Merci.

PS : je suis un néophyte en wiki, n'hésitez pas à supprimer cette discussion une fois le texte de l'article corrigé.

=> Est-ce qu'il faut lire "Un nombre x réel est irrationnel, si et seulement si, pour tout entier positif N il existe une fraction IRREDUCTIBLE p / q approximant x avec une précision meilleure que 1 / 2q2 et tel que q soit supérieur à N." ?

Merci, l'énoncé est à présent correct j'espère. Mais sa partie "seulement si" était contenue dans les précédents, et sa partie "si" qui posait problème était (et reste) un WP:TI dont la pertinence m'échappe (bien d'autres critères plus grossiers sont tout aussi discriminants). Anne 16/12/2010

Finalement j'ai tout viré (le "seulement si" redondant et le "si" peu pertinent), au profit d'un lien vers Théorème d'approximation de Dirichlet. Anne 6/3/2014

Développements de exp

Depuis la création de l'article et jusqu'au 22/3/14, on lisait que Lambert avait utilisé « la forme suivante, trouvée par Lagrange

$\exp \left({\frac {m}{n}}\right)=1+{\frac {2m\mid }{\mid m-n}}+{\frac {m^{2}\mid }{\mid 3n}}+{\frac {m^{2}\mid }{\mid 5n}}+{\frac {m^{2}\mid }{\mid 7n}}+\cdots$ »

puis, en boîte déroulante, une preuve de

$exp\left({\frac {p}{q}}\right)=1+{\frac {2p\mid }{\mid 2q-p}}+{\frac {p^{2}\mid }{\mid 6q}}+{\frac {p^{2}\mid }{\mid 10q}}+{\frac {p^{2}\mid }{\mid 14q}}\cdots$

Je suis d'accord avec la 2^e formule mais je ne comprends pas d'où sortait la 1^re. Anne 2/4/2014

Les réduites sont-elles les seules meilleures approximations ?

L'article affirme que "Les meilleures approximations d'un irrationnel sont ses réduites". Cela signifierait que toute réduite est une meilleure approximation (ce qui est démontré dans l'article) mais aussi que toute meilleure approximation est une réduite et, ça, ce n'est pas démontré.

En effet, l'article démontre que si ${\frac {h}{k}}$ vérifie $\left|r-{\frac {h}{k}}\right|<{\frac {1}{2k^{2}}}$ alors c'est une réduite.

Mais comme toutes les meilleures approximations ne vérifient pas cette inégalité, cela ne suffit pas pour conclure que toute meilleure approximation soit une réduite. Est-ce seulement vrai ? Si oui, je pense qu'il faudrait si possible compléter la démonstration (je ne sais pas comment) ou au moins signaler que ce devrait être fait pour être complet. Si ce n'est pas vrai, je pense qu'il faudrait corriger l'énoncé "Les meilleures approximations d'un irrationnel sont ses réduites".

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 87.67.140.181 (discuter), le 21 avril 2014 à 01:54.

Fait Anne 21/4/2014 à 11 h 23

Erreur ou imprécision

Bonjour,

Il est écrit dans l'article qu'Euler prouve que e est irrationnel en remarquant que sa fraction continue est infinie. Une fraction continue infinie ne peut-elle donc pas converger vers un rationnel ?

--85.170.32.101 (discuter) 9 janvier 2018 à 19:26

Non. Anne, 21 h 23

Meilleurs approximations et réduites

Je reviens sur ce point car le théorème qui affirme que les meilleures approximations sont les réduites me semble faux.

Il est vrai que les meilleures approximations par en-dessous sont les réduites d'indice pair, et les meilleures approximations par au-dessus sont les réduites d'indice impair.

Si on parle de meilleures approximations dans l'absolu, alors je pense que ce ne sont pas forcément des réduites, et que les réduites n'en sont pas forcément.

Prenons par exemple l'irrationnel e. Puisque 3 est plus proche que 2 de e, 3 est une meilleure approximation, et n'est pas une réduite, alors que 2 est une réduite et n'est pas une meilleure approximation.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 162.38.126.74 (discuter), le 7/6/2019.

Si, 3 est bien une réduite: e = [2,1,...], donc la deuxième réduite est 2+1/1 = 3. — Vincent Lefèvre (discuter) 13 mars 2021

Et 2 est la première réduite or dans ce cas, le théorème autorise 2+1 comme meilleure approximation à la place de 2, comme indiqué en note (depuis mars 2014) en fin d'énoncé du théorème. Anne, 14/03/2021

Résultat de Lambert

Sauf erreur, la démonstration du résultat de Lambert a une faute de frappe dans le troisième point : la fraction continue commence à b₁/a₁ + ... et non b_n+1/a_n+1 + ...;--JC.Raoult (discuter) 17/11/2021

Non, c'est correct. Anne 18/11