Contact de Hertz

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Lorsqu'on presse une sphère sur un matériau élastique, la surface de contact augmente.
Contrainte au contact entre deux sphères (pour deux sphères, les deux axes du contact ont la même longueur : a=b).

En génie mécanique et en tribologie, le contact de Hertz est une description, due à Heinrich Rudolf Hertz (dont le nom est également associé aux unités SI Hertz), de la contrainte au sein de deux objets en contact. La description du contact de Hertz, obtenue en 1880[1] et publiée en 1881[2], s'applique au contact de deux sphères de rayons différents.

Généralités[modifier | modifier le code]

Le contact de Hertz se réfère aux contraintes localisées qui se développent lorsque deux surfaces courbes viennent en contact et se déforment légèrement sous l'action des forces appliquées. Le degré de déformation dépend de l'élasticité du matériau en contact, autrement dit, de son module élastique. La théorie du contact de Hertz fournit la contrainte dans la zone de contact en fonction de la force normale appliquée, des rayons de courbure des deux corps et de leur module élastique.

Dans les engrenages et les roulements en mouvement, ces forces de contact sont cycliques. À la longue, elles entraînent une fatigue du matériau et l'apparition de fissures sous la surface.

La théorie du contact de Hertz constitue le fondement des équations pour le calcul du chargement admissible pour les roulements, les engrenages et autres pièces dont deux surfaces sont en contact.

Résultats essentiels[modifier | modifier le code]

Nous présentons pour commencer l'essentiel de la théorie de Hertz. Le lecteur intéressé par des équations complètes précises les trouvera dans le formulaire en fin d'article.

Prenons la situation simple d'une sphère et d'un plan (limite où l'une des sphères est de dimension infinie). L'enfoncement de la sphère dans le matériau élastique augmente avec la force compressive appliquée, comme dans toute situation d'élasticité. Mais dans le cas du contact de Hertz, deux résultats importants sont non triviaux et constituent l'intérêt de cette théorie.

Surface de contact[modifier | modifier le code]

Le premier résultat important est que la surface de contact augmente avec l'enfoncement. Cela est dû essentiellement à la géométrie : le contact est initialement ponctuel, et il s'élargit au fur et à mesure de l'enfoncement. En fait, à un facteur numérique près, on peut déduire la dimension du contact d'une simple construction géométrique. Ainsi, lorsque la sphère s'enfonce, son intersection avec le plan initial est un disque dont le rayon a vérifie :

a^2\simeq \mathrm{R} \delta,

où δ est l'enfoncement, et R le rayon de la sphère.

Réponse non linéaire[modifier | modifier le code]

Le second résultat non trivial est que bien que la loi de comportement de la matière soit linéaire (loi de Hooke), la relation entre la force appliquée F et l'enfoncement δ ne l'est pas :

\mathrm{F} \propto \delta^{3/2}

La raison essentielle en est justement que l'aire de la surface de contact πa2 entre la sphère et le plan augmente au cours de l'enfoncement. Tout calcul fait (voir plus bas), le rayon de la zone de contact varie comme :

a\propto \mathrm{F}^{1/3}

Estimation de l'énergie élastique[modifier | modifier le code]

Tous les calculs sont menés sous forme d'ordre de grandeur, sans tenir compte des facteurs numériques.

Déformation du matériau[modifier | modifier le code]

Lors d'un enfoncement de δ avec une aire de contact de rayon a (avec a \ll \mathrm{R}) la déformation est de l'ordre de :

ε ≈ δ/a

La région dans laquelle la déformation du matériau est de l'ordre de δ/a a un volume de l'ordre de

V ≈ a3

Énergie élastique[modifier | modifier le code]

L'énergie élastique par unité de volume pour une déformation ε s'écrit

w_\mathrm{el} =  \frac{1}{2} \mathrm{E} \varepsilon^2 \simeq \mathrm{E} \left ( \frac{\delta}{a} \right )^2.

où E est le module de Young du matériau.

L'énergie élastique totale s'obtient par intégration. Ici, son ordre de grandeur est donné par le produit de la densité maximale d'énergie élastique par le volume fortement déformé :

\mathrm{W_{el}} \simeq w_\mathrm{el} \times \mathrm{V} \simeq \mathrm{E} \left ( \frac{\delta}{a} \right ) ^2 a^3 \simeq \mathrm{E} a \delta^2

En combinant avec la relation géométrique a^2 \simeq \mathrm{R}\delta, on obtient :

\mathrm{W_{el}} \simeq \mathrm{E} a \delta^2 = \mathrm{E} \frac{a^5}{\mathrm{R}^2} = \mathrm{E} \mathrm{R}^{1/2} \delta^{5/2}.

Estimation de la force, de l'enfoncement et de la taille de la zone de contact[modifier | modifier le code]

Ici encore, tous les calculs sont menés sous forme d'ordre de grandeur, sans tenir compte des facteurs numériques.

La force s'obtient à partir de l'énergie Wel en dérivant par rapport au déplacement δ (voir l'article Travail d'une force :

\mathrm{F} \simeq  \mathrm{E} \mathrm{R}^{1/2}\delta^{3/2}.

Inversement, l'enfoncement s'écrit :

\delta \simeq \left ( \frac{\mathrm{F}^2}{\mathrm{E}^2 \mathrm{R}} \right )^{1/3}

En utilisant la relation géométrique a^2\simeq \mathrm{R} \delta, on obtient la taille de la zone de contact :

a \simeq \left ( \frac{\mathrm{F} \mathrm{R}}{\mathrm{E}} \right )^{1/3}.

Résultat complet[modifier | modifier le code]

Le calcul complet fournit :

\mathrm{F} = \frac{4 a^3 \mathrm{E}^\star}{3 \mathrm{R}}

où E* est le module de Young renormalisé par le coefficient de Poisson ν :

\mathrm{E}^\star = \frac{\mathrm{E}}{1-\nu^2}.

Esquisse du calcul complet pour une sphère et un plan[modifier | modifier le code]

Le profil de pression exercé entre les deux objets au sein de leur disque de contact est schématisé sur la figure : il est maximal au centre du contact et décroît lorsqu'on s'éloigne du centre, jusqu'à s'annuler au bord du contact. Dans ce paragraphe, nous indiquons les grandes lignes du calcul permettant d'obtenir le profil de pression exact ainsi que la déflexion exacte de la surface initialement plane.

Lien entre un profil de pression et un profil de déflexion[modifier | modifier le code]

Une force ponctuelle exercée à la surface du plan (supposé horizontal pour fixer les idées) donne lieu à une déflexion verticale très profonde (infinie, en principe) au point d'application de la force. Cette déflexion décroît à mesure que l'on s'écarte (distance horizontale r) du point d'application. Cette déflexion verticale u(r ) a été décrite par Joseph Boussinesq comme :

 u(r) = \frac{\mathrm{F}}{\pi \mathrm{E}^\star r}

En réalité, la force totale F est répartie sur une certaine surface, sous la forme d'une pression p(\vec{\mathrm{X}}) qui dépend de la position \vec{\mathrm{X}} dans la surface de contact. Par conséquent, chaque élément de pression contribue à la déflexion u. Ainsi, en un point quelconque \vec{x} du plan (pas nécessairement à l'intérieur du contact), la déflexion u(\vec{x}) est la somme des contributions de tous les éléments de pression situés dans la surface de contact, via la relation de Boussinesq citée plus haut :


u(\vec{x}) = \int\!\!\!\int \frac{p(\vec{\mathrm{X}})}{\pi \mathrm{E}^\star r}{\rm d}^2\vec{\mathrm{X}}
,

 r = \| \vec{x}-\vec{\mathrm{X}} \| est la distance entre le point d'application \vec{\mathrm{X}} de l'élément de pression et le point \vec{x} où l'on observe la déflexion.

Remarque
en termes mathématiques, l'intégration effectuée pour obtenir le profil de déflexion u(\vec{x}) constitue ce qu'on appelle la convolution du profil de pression p(\vec{\mathrm{X}}) et de la réponse de Boussinesq u(r ) à une force ponctuelle.

Profil de Hertz[modifier | modifier le code]

La réponse de Boussinesq étant connue, le travail de Hertz a consisté à découvrir le bon profil de pression pour obtenir un profil de déflexion u(r ) qui coïncide, dans la zone de contact, circulaire et de rayon a, avec le profil de la sphère de rayon R enfoncée d'une distance δ, c'est-à-dire :

u(r) = \delta - \frac{r^2}{2\mathrm{R}}, pour r < a.

Puisque l'ensemble du système est symétrique autour de l'axe vertical passant par le centre de la sphère, le profil de pression est axisymétrique, et nous le notons donc désormais p(r ). Hertz a montré que ce profil de pression s'écrit :

 p(r) = p_0 \sqrt{1-\frac{r^2}{a^2}},

avec

  •  a = \sqrt{R\delta} et
  • p_0 = \frac{2 \mathrm{E}^\star \delta}{\pi a} = \frac{2 a \mathrm{E}^\star}{\pi \mathrm{R}} = \frac{2 \mathrm{E}^\star}{\pi}\,\sqrt{\frac{\delta}{\mathrm{R}}}.
Remarque
Le profil de déflexion en dehors de la zone de contact se raccorde au plan horizontal non déformé u = 0 lorsque la distance au centre, r, tend vers l'infini :
u(r) = \frac{1}{\pi \mathrm{R}} \left [ (2a^2-r^2) \arcsin \left ( \frac{a}{r} \right ) + a \sqrt{r^2-a^2} \right ], pour r > a.

Force exercée[modifier | modifier le code]

La force ainsi exercée n'est autre que l'intégrale du profil de pression :

 \mathrm{F} = \int p(r) 2\pi r {\rm d} r
= \frac{4 \mathrm{E}^\star a \delta}{3}
= \frac{4 \mathrm{E}^\star a^3}{3\mathrm{R}}
= \frac{4 \mathrm{E}^\star \mathrm{R}^{1/2}\delta^{3/2}}{3}
.

Formulaire[modifier | modifier le code]

Contact entre deux sphères[modifier | modifier le code]

Soient deux sphères repérées 1 et 2, de diamètres respectifs d1 et d2, et de matériaux dont les modules de Young respectifs sont E1 et E2 et les coefficients de Poisson ν1 et ν2.

La zone de contact est un disque de rayon a :

a = \left ( \frac{3 \mathrm{F}}{8} \frac{\frac{1}{\mathrm{E}^\star_1} + \frac{1}{\mathrm{E}^\star_2}}{\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}} \right )^{1/3}

où E*i est le module de Young renormalisé par le coefficient de Poisson νi :

\mathrm{E}^\star_i = \frac{\mathrm{E}}{1 - \nu^2_i}.

L'écrasement δ des sphères vaut :

\delta = \left ( {9/16} \right )^{1/3} \left ( \mathrm{F}^2 \left (\frac{1}{\mathrm{E}^\star_1} + \frac{1}{\mathrm{E}^\star_2} \right )^2 \left ( \frac{2}{d_1} + \frac{2}{d_2} \right ) \right )^{1/3}

La pression maximale est au centre de la zone et vaut

p_\max = \frac{3 \mathrm{F}}{2 \pi a^2}.

Appelons z l'axe normal au plan de contact, dont l'origine est entre les sphères. Le long de cet axes, les contraintes principales varient avec la profondeur et valent :

\sigma_{\mathrm{X}i} = \sigma_{\mathrm{Y}i} = -p_\max \left ( \left ( 1 - \frac{z}{a} \arctan \left ( \frac{1}{z/a} \right ) \right ) (1 + \nu_i) - \frac{1}{2 \left ( 1 + (z/a)^2 \right )} \right )
\sigma_\mathrm{Z} = \frac{-p_\max}{1 + (z/a)^2}, identique pour les deux sphères.

La contrainte de cisaillement maximal vaut

\tau_{\mathrm{ZX}} = \tau_{\mathrm{YZ}} = \frac{\sigma_\mathrm{X} - \sigma_\mathrm{Z}}{2} = \frac{\sigma_\mathrm{Y} - \sigma_\mathrm{Z}}{2}.

Sa valeur maximale vaut à peu près

\tau_\max \simeq \frac{p_\max}{2}

et se situe sous la surface, pour une cote

z ≈ 0,5a.

C'est dans cette zone que débute en général la fatigue.

Remarque
Pour un contact sphère/plan, il suffit de prendre d2 = +∞, soit 1/d2 = 0. Pour un contact sphère dans une calotte concave, il suffit de prendre d2 < 0.

Contact entre deux cylindres d'axes parallèles[modifier | modifier le code]

On utilise des notations similaires au cas précédent.

Soient deux cylindres repérées 1 et 2, de même longueur L, de diamètres respectifs d1 et d2, et de matériaux dont les modules de Young respectifs sont E1 et E2 et les coefficients de Poisson ν1 et ν2. La normale du contact est l'axe z et les axes des cylindres sont parallèles à l'axe y.

La zone de contact est un rectangle de longueur L et de largeur 2b :

b = \left ( \frac{2 \mathrm{F}}{\pi \mathrm{L}} \frac{\frac{1}{\mathrm{E}^\star_1} + \frac{1}{\mathrm{E}^\star_2}}{\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}} \right )^{1/2}.

La pression maximale est sur la ligne parallèle aux axes des cylindres et située au milieu de la zone et vaut

p_\max = \frac{2 \mathrm{F}}{\pi b \mathrm{L}}.

Les contraintes principales le long d'une normale passant par cette ligne valent :

\sigma_\mathrm{X} = -p_\max \left ( \left ( 2 - \frac{1}{1 + (z/b)^2}  \right ) \sqrt{1 + (z/b)^2} - 2z/b \right ), identique pour les deux cylindres
\sigma_{\mathrm{Y}i} = -2\nu_i p_\max \left ( \sqrt{1 + (z/b)^2} - z/b \right )
\sigma_\mathrm{Z} = \frac{-p_\max}{\sqrt{1 + (z/b)^2}}, identique pour les deux cylindres.

La contrainte de cisaillement maximal est τZX, sa valeur maximale vaut à peu près

τmax ≈ 0,3×pmax

et se situe sous la surface, pour une cote

z ≈ 0,75b.
Remarque
Pour un contact cylindre/plan, il suffit de prendre d2 = +∞. Pour un contact cylindre dans un cylindre creux (par exemple palier lisse), il suffit de prendre d2 < 0.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. K. L. Johnson, Contact mechanics (1985), Cambridge University Press, p. 90. Afin de contextualiser ce travail remarquable pour un étudiant de seulement 23 ans, signalons cependant que Joseph Boussinesq avait, deux ans auparavant, publié la solution de plusieurs cas particuliers de ce problème, solutions reprises dans sa Théorie des potentiels.
  2. (de) Heinrich Hertz, « Über die Berührung fester elastischer Körper (Sur le contact entre corps élastiques) », J. für reine und angewandte Mathematik, vol. 92,‎ 1881, p. 156-171 (lire en ligne)


Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]