Conjecture de Feit-Thompson

En mathématiques, la conjecture de Feit-Thompson est une conjecture de théorie des nombres, formulée pour la première fois par Walter Feit et John G. Thompson en 1962^[1]. Elle dit qu'il n'y a pas de nombres premiers distincts $p$ et $q$ tels que :

{\frac {p^{q}-1}{p-1}}{\text{ divise }}{\frac {q^{p}-1}{q-1}}.

Si la conjecture était vraie, cela simplifierait considérablement le dernier chapitre de la preuve^[2] du théorème de Feit-Thompson, qui dit que tout groupe fini d'ordre impair est résoluble.

La conjecture forte, qui dit que les pour tous nombres premiers distincts $p$ et $q$ , les deux entiers $n_{p,q}:={\frac {p^{q}-1}{p-1}}$ et $n_{q,p}$ sont premiers entre eux, a été réfutée en 1971 par Stephens^[3], qui a donné le contre-exemple $p$ = 17 et $q$ = 3 313, avec $pgcd(n p,q, n q,p) = 2 pq + 1$ = 112 643.

Un argument informel de probabilité suggère que le nombre « prévu » de contre-exemples pour la conjecture de Feit et Thompson est très proche de 0, ce qui va dans le sens de la conjecture.

Références[modifier | modifier le code]

↑ (en) Walter Feit et John G. Thompson, « A solvability criterion for finite groups and some consequences », PNAS, vol. 48, n^o 6,‎ 1962, p. 968-970 (DOI 10.1073/pnas.48.6.968, JSTOR 71265, MR 0143802).
↑ (en) Walter Feit et John G. Thompson, « Solvability of groups of odd order », Pacific J. Math., vol. 13,‎ 1963, p. 775-1029 (MR 0166261).
↑ (en) Nelson M. Stephens, « On the Feit–Thompson conjecture », Math. Comp., vol. 25,‎ 1971, p. 625 (DOI 10.2307/2005226, JSTOR 2005226, MR 0297686).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Feit–Thompson Conjecture », sur MathWorld (Attention : cet article fait la confusion entre la conjecture de Feit et Thompson et la conjecture forte évoquée ci-dessus)

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[1] (en) Walter Feit et John G. Thompson, « A solvability criterion for finite groups and some consequences », PNAS, vol. 48, n^o 6,‎ 1962, p. 968-970 (DOI 10.1073/pnas.48.6.968, JSTOR 71265, MR 0143802).

[2] (en) Walter Feit et John G. Thompson, « Solvability of groups of odd order », Pacific J. Math., vol. 13,‎ 1963, p. 775-1029 (MR 0166261).

[3] (en) Nelson M. Stephens, « On the Feit–Thompson conjecture », Math. Comp., vol. 25,‎ 1971, p. 625 (DOI 10.2307/2005226, JSTOR 2005226, MR 0297686).

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