Chute avec résistance de l'air

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En physique, on désigne par chute avec résistance de l'air la modélisation du problème de la chute d'un corps, généralement sous atmosphère terrestre, dans laquelle on prend en compte l'influence du déplacement d'air sur la chute. Ce modèle est donc différent du modèle de chute libre, dans lequel seul l'effet du poids est considéré.

Description du mouvement[modifier | modifier le code]

Lorsqu'un corps chute dans l'atmosphère, sous l'effet de la pesanteur, il est également soumis à d'autres forces, dont notamment la résistance de l'air et la poussée d'Archimède. Le modèle de la chute libre néglige ces forces, et ne considère que l'action de la pesanteur sur le corps en chute ; le modèle de la chute avec résistance de l'air s'appuie sur le modèle de la chute libre, mais le précise en prenant en considération la résistance de l'air.

L'essentiel de la différence avec le modèle de chute libre est que la vitesse ne croît pas linéairement, mais atteint une vitesse limite, V_0, au bout d'un temps caractéristique T = V_0/g. La description du mouvement ne dépend plus que de ce seul paramètre V_0.

Approche mathématique[modifier | modifier le code]

Un objet lâché dans l'atmosphère est soumis à deux forces : le poids, { F = m g }, constant, et la résistance R de l'air qu'on peut modéliser comme proportionnelle au carré de la vitesse : R = \frac{1}{2}\,C_x\, \rho\, S\, v^2, expressions dans lesquelles :

Au départ, la vitesse est nulle et la boule se comporte comme si elle était en chute libre. Au fur et à mesure qu'elle accélère, la résistance de l'air augmente, jusqu'au moment où son poids compense exactement la résistance de l'air. À ce moment-là, la boule tombe avec une vitesse constante.

La vitesse limite { V_0 }, pour laquelle le poids compense exactement la résistance de l'air, vaut :

 V_0 = \sqrt { \frac {2 m g} {C_x \rho S} }

On pose alors { T =V_o/g } et { H=V_o T} ; on trouve : { z(t) = H \ln(\cosh(t/T))}, soit encore,

z(t) = V_0 \,t + H \cdot \log\left[\frac{1+ \exp(-2t/T)}{2}\right]

soit : z(t) = V_o t - H \ln 2.

v(t) = V_0\, \tanh \frac tT

La vitesse au départ est gt, et au bout de 3T , avec v \approx Vo.

Et Galilée ?[modifier | modifier le code]

Galilée a-t-il fait l'expérience ? Celle de la tour de Pise ? Koyré le nie. Il argumente sans nul doute avec raison. Bellone, sans contredire Koyré, indique que Galilée avait déjà compris que la résistance était proportionnelle à la masse volumique de l'air (voire de l'eau) et au maître-couple de l'objet, et un coefficient C_x. Cependant, il ne sait sans doute pas qu'elle est proportionnelle à v^2. Il sait que la loi v= gt est fausse aux grandes valeurs. Mersenne l'a confirmé. Pour aller au-delà, il lui aurait fallu trouver v(x). Torricelli y est presque en 1644 : il sait que v(x) croît moins vite que x.

En réalité, le siècle n'est pas mûr pour cela : Galilée ne manipule pas encore des quantités avec unités : tout est rapporté à des distances, comme du temps des Grecs. Et c'est seulement vers 1700 que tous ces calculs seront faits (en particulier par Bernoulli).

Le mouvement violent[modifier | modifier le code]

On appelle mouvement violent le mouvement de la boule lancée avec une vitesse initiale non nulle, ici selon la verticale.

Il est intéressant de comparer les deux mouvements (par exemple en considérant que le choc au sol est élastique).

L'équation différentielle s'intègre : \mathrm dv/\mathrm dt = -g( 1+v^2/V_0{}^2) donne :

\arctan \left( \frac {v}{V_0}\right) = -gt + \arctan \left( \frac {v(0)}{V_0}\right),

et

v^2(x) = -gH + \left[ v(0)^2 + gH \right] \exp \left(-\frac {2x}H \right).

Ce qui permet de comparer:

t_\text{descente}= T \mathrm{Argtanh} \left( \frac {v(0)}{V_0}\right),

d'où

t_{\rm mont\acute e e}  = -iT \mathrm{Argtanh} \left( i \frac {v(0)}{V_0} \right)= T \arctan \left( \tanh \left( \frac {t_{\rm descente}}{T}\right) \right),

soit un rapport 2.908/3.204.

et

h_{\rm descente} = z_0 = H \ln \gamma \!
h_{\rm mont\acute ee}  = H \ln \sqrt{1+\frac {v(0)^2}{V_0^2}}

soit

h_{\rm mont\acute ee} = \frac H 2 \ln \left( 2- \exp\left(-2 \frac {z_0} H \right)\right )

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]