Chute avec résistance de l'air

En physique, on désigne par chute avec résistance de l'air la modélisation du problème de la chute d'un corps, généralement sous atmosphère terrestre, dans laquelle on prend en compte l'influence du déplacement d'air sur la chute. Ce modèle est donc différent du modèle de chute libre, dans lequel seule l'attraction gravitationnelle est considérée.

Description du mouvement

Lorsqu'un corps chute dans l'atmosphère, sous l'effet de la pesanteur, il est également soumis à d'autres forces, dont notamment la résistance de l'air et la poussée d'Archimède. Le modèle de la chute libre néglige ces forces, et ne considère que l'action de la pesanteur sur le corps en chute ; le modèle de la chute avec résistance de l'air s'appuie sur le modèle de la chute libre, mais le précise en prenant en considération la résistance de l'air.

L'essentiel de la différence avec le modèle de chute libre est que la vitesse ne croît pas linéairement, mais atteint une vitesse limite, $V_0$, au bout d'un temps caractéristique $T = V_0/g$. La description du mouvement ne dépend plus que de ce seul paramètre $V_0$.

Approche mathématique

Un objet lâché dans l'atmosphère est soumis à deux forces : la pesanteur, ${ F = m g }$, constante, et la résistance de l'air ${ R = C_x \rho S v^2 /2}$, proportionnelle au carré de la vitesse, dans lesquelles

• ${ m }$ désigne la masse de l'objet (${ m = 3 \mu \pi r^3/4 }$ dans le cas d'une sphère de rayon ${ r}$ et de masse volumique ${ \mu}$);
• ${ g }$, l'accélération de la pesanteur ;
• ${ \rho }$ désigne la masse volumique de l'air,
• ${ S }$, le maître-couple, section droite perpendiculaire au mouvement (${ S = \pi r^2}$ dans le cas d'une sphère) ;
• ${ C_x }$, le coefficient de résistance « aérodynamique » (on prendra ${ C_x = 0.5 }$ dans le cas d'une sphère).

Au départ, la vitesse est nulle et la boule se comporte comme si elle était en chute libre. Au fur et à mesure qu'elle accélère, la résistance de l'air augmente, jusqu'au moment où son poids compense exactement la résistance de l'air. À ce moment la boule tombe avec une vitesse constante.

La vitesse limite ${ V_0 }$, pour laquelle le poids compense exactement la résistance de l'air, vaut :

$V_0 = \sqrt { \frac {2 m g} {C_x \rho S} }$

On pose alors ${ T =V_o/g }$ et ${ H=V_o T}$ ; on trouve : ${ z(t) = H \ln(\cosh(t/T))}$, soit encore,

$z(t) = V_0 \,t + H \cdot \log\left[\frac{1+ \exp(-2t/T)}{2}\right]$

soit : z(t) = $V_o t - H \ln 2$.

$v(t) = V_0\, \tanh \frac tT$

La vitesse au départ est $gt$, et au bout de $3T$ , avec $v \approx Vo$.

Démonstration

équation du mouvement

L'équation du mouvement est :

$\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt} = g - \left( \frac{k a S}{m} \right) v^2 = g \left( 1 - \frac{v^2}{V_o^2} \right)$.

Diagramme horaire, diagramme spatial

diagramme horaire : sachant que la dérivée de $y = \tanh t$ est $\mathrm dy/\mathrm dt = 1 - y^2$, le diagramme horaire est :

$v(t) = V_0 \tanh \frac tT$

La vitesse au départ est $gt$ , et au bout de $3T$ , $v \approx V_0$. Cela suffit amplement pour tracer une borne supérieure de $x(t)$ (cf diagramme horaire) :

$t< T , x < \frac 1 2 gt^2$ ;

$t >T , x < -\frac H 2 + V_0 t$.

La réponse exacte est :

$z(t) = H \ln(\cosh(t/T))$,

soit encore,

$z(t) = V_0 t + H \ln \left[ \left( 1+ \exp\left(-\frac{2t}T\right) \right) \frac 12 \right]$,

soit :

$z(t) = V_0 t + H \ln 2$.

diagramme spatial : on peut préférer avoir la vitesse en un point, et cela conduit à :

$v^2(z) = V_0^2 \left[ 1 - \exp\left(-\frac{2z}H\right) \right]$,

ce qui redonne la même expression pour $z(t)$.

Le Théorème de l'énergie cinétique corrobore :

il conduit à :

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dz} \left( \frac{v^2} 2 \right) - g = \frac{R}{m}$,

soit

$\frac 1 2 m v^2 - mgz = W = - \frac m H\int_0^z v^2(x)\mathrm dx$,

aisément vérifiable via l'expression précédente de la vitesse $v(z)$.

Et Galilée ?

Galilée a-t-il fait l'expérience ? Celle de la tour de Pise ? Koyré le nie. Il argumente sans nul doute avec raison. Bellone, sans contredire Koyré, indique que Galilée avait déjà compris que la résistance était proportionnelle à la masse volumique de l'air (voire de l'eau) et au maître-couple de l'objet, et un coefficient $C_x$. Cependant, il ne sait sans doute pas qu'elle est proportionnelle à $v^2$. Il sait que la loi $v= gt$ est fausse aux grandes valeurs. Mersenne l'a confirmé. Pour aller au-delà, il lui aurait fallu trouver $v(x)$. Torricelli y est presque en 1644 : il sait que $v(x)$ croît moins vite que √x.

En réalité, le siècle n'est pas mûr pour cela : Galilée ne manipule pas encore des quantités avec unités : tout est rapporté à des distances, comme du temps des grecs. Et c'est seulement vers 1700 que tous ces calculs seront faits (en particulier par Bernoulli).

Le mouvement violent

On appelle mouvement violent le mouvement de la boule lancée avec une vitesse initiale non nulle, ici selon la verticale.

Il est intéressant de comparer les deux mouvements (par exemple en considérant que le choc au sol est élastique).

L'équation différentielle s'intègre : $\mathrm dv/\mathrm dt = -g( 1+v^2/V_0{}^2)$ donne :

$\arctan \left( \frac {v}{V_0}\right) = -gt + \arctan \left( \frac {v(0)}{V_0}\right)$,

et

$v^2(x) = -gH + \left[ v(0)^2 + gH \right] \exp \left(-\frac {2x}H \right)$.

Ce qui permet de comparer:

$t_\text{descente}= T \mathrm{Argtanh} \left( \frac {v(0)}{V_0}\right)$,

d'où

$t_{\rm mont\acute e e} = -iT \mathrm{Argtanh} \left( i \frac {v(0)}{V_0} \right)= T \arctan \left( \tanh \left( \frac {t_{\rm descente}}{T}\right) \right)$,

soit un rapport 2.908/3.204.

et

$h_{\rm descente} = z_0 = H \ln \gamma \!$

$h_{\rm mont\acute ee} = H \ln \sqrt{1+\frac {v(0)^2}{V_0^2}}$

soit

$h_{\rm mont\acute ee} = \frac H 2 \ln \left( 2- \exp\left(-2 \frac {z_0} H \right)\right )$

Voir aussi

• Chute libre (physique)
• Chute libre (cinématique)
• Diagramme horaire
• Balistique extérieure