Choc élastique

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Dans une partie de billard, les collisions sont pratiquement élastiques.
Collisions élastiques dans un gaz.

Un choc élastique est un choc entre deux corps qui n'entraine pas de modification de leur état interne[1], notamment de leur masse.

Le système composé des corps qui se heurtent conserve :

Dans le référentiel du centre de masse des particules, les normes des vitesses des particules sont identiques avant et après la collision, mais leur direction après le choc dépend de la loi d'interaction et de leur position réciproque pendant le choc[1], ainsi par diffusion élastique les forces entre particules peuvent être explorées.

La collision élastique s'oppose à la collision inélastique pour laquelle l'énergie cinétique n'est pas conservée (les corps qui se heurtent peuvent, par exemple, absorber de l'énergie par déformation plastique).

Formulation pour deux corps[modifier | modifier le code]

Si on considère le choc de deux corps 1 et 2 et :

  • \vec {p_i}\, la quantité de mouvement avant choc et \vec {p_i}'\, celle après choc du corps n° i avec  i \in \{1;2\}
  • m_i\, la masse du corps n° i. (supposées constantes dans un choc élastique)
  • \vec {v_i}\, la vitesse avant choc \vec {v_i}'\, celle après choc du corps n° i

Le théorème de conservation de la quantité de mouvement donne :

\vec {p_1} + \vec {p_2} = \vec {p_1}' + \vec {p_2}'\,

La conservation de l’énergie cinétique totale donne :

m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1 {v'}_1^2 + m_2 {v'}_2^2

Étant donné que \vec {p} = m \vec{v}, les conditions sont représentées par chacun des deux systèmes équivalents suivants pour un choc parfaitement élastique :

\left\{\begin{matrix} \vec {p_1} + \vec {p_2} = \vec {p_1}' + \vec {p_2}' \\ \\ {\frac{p_1^2}{m_1} + \frac{p_2^2}{m_2} = \frac{{p'}_1^2}{m_1} + \frac{{p'}_2^2}{m_2}}\, \end{matrix}\right.\, ou \left\{\begin{matrix} m_1.\vec {v_1} + m_2.\vec {v_2} = m_1.\vec {v_1}' + m_2.\vec {v_2}' \\ \\ {m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1 {v'}_1^2 + m_2 {v'}_2^2}\, \end{matrix}\right.\,

Ces égalités donnent quatre équations numériques à six inconnues (les six coordonnées des vitesses, ou des quantités de mouvement, après le choc) : la résolution complète n'est pas possible avec ces seules conditions. Seul le cas à une dimension spatiale (deux équations à deux inconnues) est totalement soluble.

Résolutions[modifier | modifier le code]

Cas en une dimension[modifier | modifier le code]

Collision élastique de masses égales dont une au repos.

L'hypothèse que les deux particules se meuvent sur une droite avant et après le choc simplifie le problème et en rend la solution indépendante de l'interaction des particules :

Système en une dimension : \left\{\begin{matrix} m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 {v'}_1 + m_2 {v'}_2 \\ m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1 {v'}_1^2 + m_2 {v'}_2^2 \end{matrix}\right.\,
Sa résolution : \left\{\begin{matrix} {v'}_1 = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} v_1 + \frac{2 m_2}{m_1+m_2} v_2 \\ \\ {v'}_2 = \frac{2 m_1}{m_1+m_2} v_1 + \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2} v_2 \end{matrix}\right.\,

Cas en deux et trois dimensions[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Diffusion élastique.

D'un référentiel galiléen à l'autre, l'angle que font deux vitesses varie, ainsi que leurs normes : un changement de référentiel impliquant l'addition d'un vecteur vitesse à ces vitesses, l'angle entre celles-ci est modifié, et de même pour les normes.

L'angle entre les directions des deux particules après le choc dépend de leurs masses et du choix du référentiel. Dans le référentiel où une des deux particules est initialement au repos, si les masses sont égales, les deux vitesses résultantes sont à angle droit l'une de l'autre, dans le cas où la particule incidente a une masse plus faible, cet angle est supérieur à l'angle droit, et dans le cas où la particule incidente est de masse plus grande, l'angle est inférieur à l'angle droit[1].

Dans le référentiel du centre d'inertie, les vitesses avant le choc sont \vec u_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2}. \vec v et \vec u_2 = -\frac{m_1}{m_1+m_2}. \vec v, où \vec v =\vec v_1 - \vec v_2, avec \vec v_i la vitesse du corps n° i dans le référentiel initial. Après le choc, les vitesses sont \vec w_1 = u_1. \vec n et \vec w_2 = -u_2 .\vec n\| \vec u_i \| = u_i, et \vec n un vecteur unitaire (de norme 1) dont la direction dépend de la loi d'interaction entre les particules et de leur position relative pendant le choc[1].

L'hypothèse, courante, que l'interaction entre les particules est à symétrie sphérique implique que les quatre vitesses (deux avant et deux après le choc) sont coplanaires. Le cas à deux dimensions est alors suffisant pour étudier la situation ; il y a alors trois équations et quatre inconnues. L'angle de diffusion d'une particule (angle entre les directions avant et après le choc) peut être choisi comme étant l'inconnue restante[1].

Dans le cas d'un champs de force centrale immobile, l'angle de la diffusion d'une particule incidente est exprimable en fonction du champs de force U(r). Un cas très proche se retrouve dans les applications physiques courantes : on a souvent affaire à une diffraction d'un faisceau de particules identiques incidentes sur une fine épaisseur d'un matériau. La notion de section efficace apparait alors dans l'étude de la dispersion des particules incidentes (mais aussi des particules initialement au repos)[1].

Choc élastique en relativité restreinte[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Collision élastique relativiste.

La conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement se résume, en relativité, par la conservation du quadrivecteur énergie-impulsion. De même qu'en physique newtonienne, on peut déterminer l'angle après le choc entre les directions des particules, mais l'angle entre les directions avant et après le choc résulte de l’interaction entre les particules au cours du choc[2].

Le choc qui résulte de particules lancées à des vitesses relativistes (proches de la vitesse de la lumière) est souvent inélastique, et il peut en résulter des particules différentes d'avant le choc, ce qui est parfois un des objectifs des expériences faites avec les accélérateurs de particules : les états internes sont donc modifiés, les masses ne sont pas conservées, et le quadrivecteur énergie-impulsion total non plus car de l'énergie peut être utilisée ou libérée par les particules au cours d'un tel choc.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c, d, e et f Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 1 : Mécanique [détail des éditions] § 17 Chocs élastiques de particules.
  2. Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 2 : Théorie des champs [détail des éditions], §13 Collisions élastiques des particules.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]