Cercle de Van Lamoen
En géométrie plane euclidienne, le cercle de Van Lamoen d'un triangle est le cercle qui contient les centres des cercles circonscrits des six triangles définis à l'intérieur de par ses trois médianes[1],[2].
Plus précisément, pour les trois sommets , , d'un triangle , on note son centre de gravité (l'intersection de ses trois médianes). Soient , , et les milieux des côtés , , et , respectivement. Il apparait alors que les centres des cercles circonscrits des six triangles intérieurs , , , , , et se situent sur un cercle commun, qui est le cercle de Van Lamoen de [2].
Histoire[modifier | modifier le code]
Le cercle de Van Lamoen porte le nom du mathématicien Floor van Lamoen (nl) qui l'a posé comme problème en 2000[3],[4]. Une preuve a été fournie en 2001[4], et les éditeurs de l'American Mathematical Monthly en 2002[1],[5].
Propriétés[modifier | modifier le code]
Le centre du cercle de Van Lamoen est le point dans la liste complète des centres du triangle de Clark Kimberling[1].
En 2003, il a été mis en évidence que la réciproque du théorème est presque vraie, dans le sens où, pour un point quelconque à l'intérieur du triangle , et , , et les céviennes passant par , c'est-à-dire les segments de droite qui relient chaque sommet à et sont étendus jusqu'à ce que chacun rencontre le côté opposé. Alors les centres des cercles circonscrits des six triangles , , , , , et sont cocyliques si et seulement si est le centre de gravité de (ce qui donne le cercle de Van Lamoen) ou son orthocentre (l'intersection de ses trois hauteurs, cas du cercle d'Euler)[6]. Une preuve plus simple de ce résultat a été donnée en 2005[7].
Généralisation[modifier | modifier le code]
Dans le cas d'un point quelconque du plan, Kimberling avait remarqué que les six centres des cercles circonscrits étaient tous sur une même conique[8].
Une extension du théorème de van Lamoen est donné par Myakishev :
- On considère deux triangles et , deux triangles homologiques de centre d'homologie et de même centre de gravité . Alors les centres des cercles circonscrits des six triangles intérieurs , , , , , et se situent sur un cercle commun[6],[9].
Le théorème de van Lamoen correspond au cas particulier où est le triangle médian de .
Voir également[modifier | modifier le code]
Références[modifier | modifier le code]
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Van Lamoen circle » (voir la liste des auteurs).
- (en) Clark Kimberling, « Encyclopedia of Triangle Centers » (consulté le ). Voir X(1153) = Center of the van Lemoen circle.
- (en) Eric W. Weisstein, « van Lamoen circle », sur MathWorld
- (en) Floor van Lamoen, « Problem 10830 », American Mathematical Monthly, vol. 107, , p. 893
- (en) Kin Y. Li, « Concyclic problems », Mathematical Excalibur, vol. 6, no 1, , p. 1–2 (lire en ligne)
- (en) Floor van Lamoen, « Solution to Problem 10830 », American Mathematical Monthly, vol. 109, no 4, , p. 396-397.
- (en) Alexey Myakishev et Peter Y. Woo, « On the Circumcenters of Cevasix Configuration », Forum Geometricorum, vol. 3, , p. 57–63 (lire en ligne)
- (en) N. M. Ha, « Another Proof of van Lamoen's Theorem and Its Converse », Forum Geometricorum, vol. 5, , p. 127–132 (lire en ligne)
- (en) Clark Kimberling, « Triangle centers and central triangles », Congressus Numerantium, vol. 129, , p. 1–285
- (en) Oai Thanh Dao, « A Synthetic proof of A. Myakishevus generalization on van Lamoen Circle theorem and an application », International Journal of Geometry, vol. 3, no 2, (lire en ligne)
