Principe variationnel

Un principe variationnel est un principe physique s'exprimant sous une forme variationnelle et duquel, dans un domaine précis de la physique (mécanique, optique géométrique, électromagnétisme, etc), de nombreuses propriétés peuvent être déduite.

Dans de nombreux cas, la résolution des équations se ramène à la recherche de géodésiques dans un espace général approprié, sachant que ces géodésiques sont les extrémales d'une certaine intégrale représentant la longueur de l'arc joignant les points fixes dans cet espace abstrait. Les équation d'Euler-Lagrange sont l’archétype des méthodes utilisées pour résoudre les équations dans ce cadre.

L'étude variationnelle au premier ordre permet de déterminer l'évolution du système physique étudié, l'étude au second ordre permet d'étudier la stabilité des équilibres.

Parmi ces principes on trouve le principe de moindre action et le principe de Fermat.

Principe de Fermat

Pierre de Fermat (1601–1665)

En optique géométrique, le principe de Fermat affirme que, dans un milieu isotrope, le chemin suivi par la lumière entre deux point fixes P et Q est celui qui rend minimal le temps de parcours, c'est-à-dire qui rend extrémale l'intégrale $\int _{P\rightarrow Q}dt=\int _{P\rightarrow Q}{{ds} \over {c}}$ où $ds=$ élément infinitésimal du chemin allant de P à Q, c = célérité de la lumière, et ${ds \over c}=dt=$ intervalle infinitésimal de temps nécessaire pour parcourir l'intervalle $ds$.

Ce qui s'exprime par $\delta \int _{P\rightarrow Q}{{ds} \over {c}}=0$ où le symbole $\ \delta$ indique qu'il est en fait une infime variation du trajet emprunté pour aller de P à Q.

La vitesse de phase de la lumière, autrement dit sa vitesse de propagation, peut varier en chaque point, mais non avec la direction du rayon en ce point (isotropie). Cette équation exprime que la variation (indiquée par la lettre grecque $\delta$) d'une intégrale curviligne est nulle, c'est-à-dire que la différence entre cette intégrale évaluée le long de la trajectoire réelle et l'intégrale évaluée le long de n'importe quelle trajectoire virtuelle infiniment voisine est un infiniment petit du second ordre. Ceci ne signifie pas que l'intégrale est minimum, mais seulement qu'elle est extrémum. En effet, c'est seulement dans le cas où le trajet PQ est suffisamment petit, de manière à ce que des rayons « voisins » ne puissent recouper le rayon réel, que l'on peut démontrer qu'il s'agit effectivement d'un minimum.

L'étude de certains systèmes optiques simples permet d'illustrer le problème. En effet, représentons le milieu hétérogène étudié par un de ces systèmes optiques. Dans cet exemple, l'image du point P, c'est-à-dire le lieu des points de rencontre de tous les rayons issus de P sous des angles légèrement différents, est constituée de deux focales EF et GH dont la distance caractérise l'astigmatisme du système.

Principe de Maupertuis

Pierre Louis de Maupertuis (1698–1759)

En mécanique analytique, le principe de Maupertuis est valable pour les systèmes conservatifs (l'énergie E = T + V du corps est invariante au cours du temps) à liaisons holonomes indépendantes du temps.

La trajectoire du corps entre deux points P et Q est alors celle qui minimise l'énergie cinétique T au cours du temps, donc qui rend extrémale l'intégrale curviligne $\int _{P\rightarrow Q}2Tdt=\int _{P\rightarrow Q}mvds$, où $ds=$ segment infinitésimal de trajet, $2T=m.v^{2}$ et $v={{ds} \over {dt}}$. Ces écritures n'étant pas souvent pratiques car la vitesse $v$ ne s'exprime pas facilement en fonction de la coordonnée $s$ ni du temps $t$.

En écrivant l'énergie totale (constante) $E=T+V$, où $V=V(s)=$ énergie potentielle, on obtient $mv={\sqrt {2m(E-V)}}$ et l'intégrable extrémale $\int _{P\rightarrow Q}mvds=\int _{P\rightarrow Q}{\sqrt {2m(E-V)}}ds$.

Le principe de Maupertuis dit donc que la trajectoire suivie par le corps est celle pour laquelle $\delta \int _{P\rightarrow Q}{\sqrt {2m(E-V)}}ds=0$. Ce principe est un cas particulier du principe de moindre action.

Principe de moindre action

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)

En mécanique analytique, le principe de moindre action affirme que la trajectoire d'un corps, et, plus généralement, l'évolution d'un système se fait suivant un trajet qui minimise l'action, c'est-à-dire l'intégrale du lagrangien du système $L=T-V$. Les trajets envisagés parcourent l'espace des états du système, espace abstrait.

$\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}Ldt=0$

La forme différentielle de ce principe s'exprime par les équations d'Euler-Lagrange, plus pratique pour déterminer l'évolution du système.

Pour la physique classique, Joseph-Louis Lagrange a montré l'équivalence entre ce principe et du principe fondamental de la dynamique. La mécanique hamiltonienne est issue de l'étude des propriétés du principe de moindre action.

Principe de Gauss ou principe de moindre courbure

Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

Voir aussi

Bibliographie

• Pierre Bérest, Calcul des variations : Application à la Mécanique et à la Physique, éditions Ellipses, 1997, 256 p. (ISBN 2-7298-9704-6)
• H. Goldstein (1980). Classical Mechanics (Second Edition), Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts. ISBN 0-201--02969-3.

En mathématiques et topologie

• Yves Colin de Verdières, « Un principe variationnel pour les empilements de cercles », Inventiones mathematicae, Springer Verlag, vol. 104, n^o 1,‎ décembre 1991, p. 655-669 (ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01245096, lire en ligne)
• Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Bases, outils et principes pour l'analyse variationnelle, Springer Verlag, coll. « Mathématiques et applications », 30 septembre 2012, 171 p. (ISBN 978-3-642-30734-8 et 978-3-642-30735-5, ISSN 1154-483X, LCCN 2012945471, DOI 10.1007/978-3-642-30735-5, lire en ligne)

Articles connexes

• Calcul des variations
• Principe variationnel en physique quantique