Théorie des représentations

La théorie des représentations est une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels, et qui étudie les modules sur ces structures algébriques abstraites.

Définitions et concepts

Soit V un espace vectoriel sur un corps K. Par exemple, supposons que V est ℝⁿ ou ℂⁿ, l'espace usuel de dimension n des vecteurs colonnes sur le corps ℝ des réels ou celui, ℂ, des complexes. Dans ce cas, l'idée de la théorie des représentations est de faire de l'algèbre abstraite de façon concrète, en utilisant des matrices n × n de nombres réels ou complexes. On peut le faire principalement pour trois types d'objets algébriques : les groupes, les algèbres associatives et les algèbres de Lie.

• Le sous-ensemble des matrices n × n inversibles forme un groupe pour la multiplication et la théorie des représentations de groupes analyse un groupe en décrivant – en « représentant » – ses éléments en termes de matrices inversibles.
• L'addition et la multiplication font de l'ensemble de toutes les matrices n × n une algèbre associative, ce qui donne lieu à la théorie des représentations d'algèbres (en) associatives.
• Si l'on remplace le produit MN de deux matrices par leur commutateur MN – NM, alors les matrices n × n ne forment plus une algèbre associative mais une algèbre de Lie, et l'on étudie les représentations d'algèbres de Lie.

Ceci se généralise à tout corps K et à tout espace vectoriel V sur K, en remplaçant les matrices par des endomorphismes linéaires et la multiplication matricielle par la composition.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Representation theory » (voir la liste des auteurs).

Références

• (en) J. L. AlperinJonathan Lazare Alperin, Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups, CUP, 1986 (ISBN 978-0-521-44926-7)
• (en) Armand Borel, Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, AMS, 2001 (ISBN 978-0-8218-0288-5, lire en ligne)
• (en) Armand Borel et W. Casselman, Automorphic Forms, Representations, and L-functions, AMS, 1979 (ISBN 978-0-8218-1435-2, lire en ligne)
• (en) Charles W. Curtis et Irving Reiner, Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, John Wiley & Sons, 1962 (ISBN 978-0-821-84066-5, lire en ligne) (rééd. 2006 par AMS Bookstore)
• (en) William Fulton et Joe Harris, Representation Theory : A First Course [détail des éditions]
• (en) Roe Goodman et Nolan R. Wallach, Representations and Invariants of the Classical Groups, CUP, 1998 (ISBN 978-0-521-66348-9, lire en ligne)
• (en) James Gordon et Martin Liebeck, Representations and Characters of Groups, CUP, 1993 (ISBN 978-0-521-44590-0)
• (en) James E. HumphreysJames E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Birkhäuser, 1972 (ISBN 978-0-387-90053-7)
• (en) James E. Humphreys, Linear Algebraic Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 21), 1975 (ISBN 978-0-387-90108-4)
• (en) Jean-Pierre Serre, Linear Representations of Finite Groups [détail des éditions]
• (en) Daniel Simson, Andrzej Skowronski et Ibrahim Assem, Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, CUP, 2007 (ISBN 978-0-521-88218-7, lire en ligne)

Articles connexes

• Philosophie des sciences
• Représentation (mathématiques) (en)
• Théorème de représentation (en)