Densité de Schnirelmann

En mathématiques, la densité de Schnirelmann d'un ensemble d'entiers naturels non nuls est une manière de mesurer de quelle façon cet ensemble est « dense » . Elle a été nommée en l'honneur du mathématicien russe Lev Schnirelmann, qui fut le premier à l'étudier.

Intuitivement, nous ressentons qu'il y a « plus » de nombres impairs que de carrés parfaits ; toutefois, l'ensemble des nombres impairs n'est pas « plus grand » que l'ensemble des carrés parfaits : ces deux ensembles sont dénombrables et peuvent par conséquent être mis en bijection. Nous avons donc besoin d'une meilleure manière pour formaliser notre notion intuitive. C'est ce qu'effectue la densité de Schnirelmann.

Définition

Soit A un ensemble d'entiers naturels non nuls. On note A(n) le nombre d'éléments de A∩[1,n], c’est-à-dire le nombre d'éléments de A qui sont inférieurs ou égaux à n. Alors, la densité naturelle de Schnirelmann de A est le nombre réel :

$\sigma (A)=\inf _{n}\left({\frac {A(n)}{n}}\right)$

où inf désigne la borne inférieure (qui existe toujours, même quand la limite $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {A(n)}{n}}$ n'existe pas).

Par exemple, l'ensemble des nombres impairs possède une densité de Schnirelmann de 1/2. Celle des carrés des nombres entiers ou des nombres premiers de Mersenne est nulle, bien que ces deux ensembles soient infinis.

Propriétés

La fonction densité de Schnirelmann $\sigma$ (définie sur l'ensemble des parties de $\mathbb {N} ^{*}$) possède les propriétés suivantes, pour toute partie A de $\mathbb {N} ^{*}$ :

1. $0\leq \sigma (A)\leq 1$ ;
2. si $\sigma (A)=0$ alors pour tout ε>0, il existe n tel que A(n) < εn, ce qui découle de la définition de $\sigma (A)$ comme borne inférieure, ainsi que :
3. $\forall n,A(n)\geq n\sigma (A)$, dont on déduit :
4. si σ(A)=1 alors $A=\mathbb {N} ^{*}$ (la réciproque étant immédiate) ;
5. si 1 n'appartient pas à A alors σ(A)=0 (car A(1)=0).

On pourrait se demander quelle est l'utilité d'une telle fonction de densité, puisqu'elle est extrêmement sensible aux premières valeurs de l'ensemble considéré (l'ensemble des nombres pairs, par exemple, a une densité de Schnirelmann nulle). Schnirelmann et LinnikYuri Linnik exploitèrent ceci comme nous le verrons.

Théorèmes de Schnirelmann

Si nous posons ${\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }$ (l'ensemble des carrés des nombres entiers non nuls), alors le théorème des quatre carrés de Lagrange — qui stipule que tout nombre entier peut être exprimé sous la forme de somme de quatre carrés — peut être réexprimé sous la forme :

$\sigma \left({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\right)=1$.

où $\oplus$ est l'opérateur de la somme d'ensembles des sous-ensembles ${\mathfrak {G}}^{2}$.

Il est clair que $\sigma \left({\mathfrak {G}}^{2}\right)=0$. En fait, nous avons toujours $\sigma \left({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\right)=0$ et on pourrait se demander à partir de quel point la somme des ensembles atteint la densité de Schnirelmann 1 et comment elle augmente. Il se trouve que $\sigma \left({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\right)=5/6$ et on peut voir qu'ajouter ${\mathfrak {G}}^{2}$ une fois encore produit $\mathbb {N} ^{*}$ tout entier.

Schnirelmann réussit à développer cette idée dans les théorèmes suivants, en se dirigeant vers une théorie additive des nombres, et démontra qu'ils étaient une nouvelle ressource (potentiellement puissante) pour attaquer d'importants problèmes, tels que le problème de Waring et la conjecture de Goldbach.

Le premier théorème de Schirelmann est une version faible du théorème de Mann :

Théorème Soient $A\,\!$ et $B\,\!$ deux sous-ensembles de $\mathbb {N} ^{*}$. Alors $\sigma \left(A\oplus B\right)\geq \sigma (A)+\sigma (B)-\sigma (A)\cdot \sigma (B)$.

En remarquant que $\sigma (A)+\sigma (B)-\sigma (A)\cdot \sigma (B)=1-\left(1-\sigma (A)\right)\cdot \left(1-\sigma (B)\right)$, on en déduit par récurrence :

Corollaire Pour toute famille finie de sous-ensembles $A_{i}$ de $\mathbb {N} ^{*}$,

$\sigma \left(\oplus A_{i}\right)\geq 1-\prod _{i}\left(1-\sigma \left(A_{i}\right)\right)$.

Ce théorème fournit le premier aperçu du comportement d'accumulation des sommes d'ensembles. Il semble malheureux que sa conclusion arrive avant de montrer que $\sigma$ est superadditiveSuperadditivité (c’est-à-dire que $\sigma \left(A\oplus B\right)\geq \sigma (A)+\sigma (B)$). Schnirelmann y pallie avec les résultats suivants, qui suffisent pour la plus grande partie de son objectif :

Théorème Soient A et B deux sous-ensembles de $\mathbb {N} ^{*}$. Si $\sigma (A)+\sigma (B)\geq 1$, alors $A\oplus B=\mathbb {N} ^{*}$.

Théorème de Schnirelmann Soit $A\subseteq \mathbb {N} ^{*}$. Si $\sigma (A)>0~$, alors il existe un entier $k$ tel que

$A\oplus A\oplus \ldots \oplus A=\mathbb {N} ^{*}$,

où $A$ est répété $k$ fois dans la somme.

Une application de ce théorème permet d'exprimer tout nombre entier comme somme de nombres premiers : soit A={0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, ...} l'ensemble des nombres premiers auquel on adjoint 0 et 1. Schnirelmann a montré que $\sigma (A)=0$, mais que $\sigma \left(A\oplus A\right)>0$. Par application du théorème de Schnirelmann, il existe un nombre entier k tel que k fois la somme de $A\oplus A$ soit égale à $\mathbb {N} ^{*}$. C’est-à-dire qu'il existe un nombre s tel que tout nombre entier positif soit égal à la somme d'au plus s nombres premiers.

Ce nombre $s$ est appelé la constante de Schnirelmann. Sa meilleure majoration connue (prouvée en 1995 par Olivier RamaréOlivier Ramaré) est $s\leq 7$.

Bases additives

Un sous-ensemble $A\subseteq \mathbb {N} ^{*}$ avec la propriété que $A\oplus A\oplus \cdots \oplus A=\mathbb {N} ^{*}$ pour une somme finie, est appelé une base additive, et le plus petit nombre de termes requis est appelé le degré de la base. Donc, le dernier théorème exprime que tout ensemble avec une densité de Schnirelmann strictement positive est une base additive. Dans cette terminologie, l'ensemble des carrés ${\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }$ est une base additive de degré 4.

Théorème de Mann

Historiquement, les théorèmes ci-dessus étaient des indicateurs pour le résultat suivant, qui est le meilleur raffinement possible de sa "version faible" (cf supra) démontrée par Schnirelmann, et s'est révélé difficile à attaquer. Il devint connu comme l'hypothèse $\alpha +\beta$, utilisée par Landau dans la démonstration du théorème 1.1^[Lequel ?] et fut finalement démontré par Henry MannHenry Mann en 1942.

Théorème Soient $A$ et $B$ des sous-ensembles de $\mathbb {N} ^{*}$. Dans le cas où $A\oplus B\neq \mathbb {N} ^{*}$, nous avons encore

$\sigma (A\oplus B)\geq \sigma (A)+\sigma (B)$.

Problème de Waring

Soit $k$ et $N$ des nombres naturels. Soit ${\mathfrak {G}}^{k}=\{i^{k}\}_{i=1}^{\infty }$. Définissons $r_{N}^{k}(n)$ comme étant le nombre de solutions $(x_{1},\ldots ,x_{N})\in \mathbb {N} ^{N}$ de l'équation

$x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}=n$

et $R_{N}^{k}(n)$ comme étant le nombre de solution solutions $(x_{1},\ldots ,x_{N})\in \mathbb {N} ^{N}$ de l'inéquation

$x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n$.

Ainsi $R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)$.

Nous avons

• $r_{N}^{k}(n)>0\Leftrightarrow n\in N{\mathfrak {G}}^{k}$
• $R_{N}^{k}(n)\geq \left({\frac {n}{N}}\right)^{\frac {N}{k}}$

Le volume du bloc $N$-dimensionnel défini par $0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n$ est borné par le volume de l'hypercube de taille $n^{1/k}$, en conséquence $R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)$ est majoré (grossièrement) par $(1+n^{1/k})^{N}$. Linnik a démontré que cette borne fonctionne encore sur la moyenne, c.à.d. :

Lemme Pour tout entier naturel k il existe un entier naturel N et une constante $c=c(k)$, dépendant seulement de k, tels que pour tous entiers m, n vérifiant $0\leq m\leq n$,

$r_{N}^{k}(m)<cn^{{\frac {N}{k}}-1}$

Avec ce lemme, le théorème suivant peut être démontré de façon élégante.

Théorème Pour tout $k$ il existe $N$ pour lequel $\sigma (N{\mathfrak {G}}^{k})>0$.

Nous avons ainsi exprimé la solution générale du problème de Waring :

Corollaire Pour tout k il existe N, dépendant seulement de k, tel que chaque nombre entier positif n peut être exprimé comme la somme d'au plus N puissances k-ièmes.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schnirelmann density » (voir la liste des auteurs).