Théorème de Borel-Cantelli

Introduction

Dans la théorie des probabilités, le lemme de Borel-Cantelli, parfois aussi appelé théorème de Borel-Cantelli, concerne une suite d'événements. Sous une forme un peu plus générale, il est également valable en théorie de la mesure. Le lemme stipule que :

Lemme de Borel-Cantelli — Si la somme des probabilités d'une suite $\scriptstyle \ (A_{n})_{n\geq 0}$ d'événements d'un espace probabilisé $\scriptstyle \ \left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right)\$ est finie, alors la probabilité qu'une infinité d'entre eux se réalisent simultanément est nulle.

L'indépendance des événements n'est pas nécessaire. Par exemple, considérons une suite $\scriptstyle \ (X_{n})_{n\geq 1}$ de variables aléatoires, telle que, pour tout $\scriptstyle \ n\geq 1$,

$\textstyle \mathbb {P} (X_{n}=0)={\frac {1}{n^{2}}}.$

La somme des $\scriptstyle \ \mathbb {P} (X_{n}=0)$ est finie, donc d'après le lemme de Borel-Cantelli la probabilité que $\scriptstyle \ X_{n}=0$ se produise pour une infinité d'indices $\scriptstyle \ n$ est 0. En d'autres termes, avec une probabilité de 1, $\scriptstyle \ X_{n}$ est non nul à partir d'un certain rang (aléatoire) $\scriptstyle \ n_{0}.$ On a donc appliqué le lemme de Borel-Cantelli à la suite d'évènements $\scriptstyle \ (A_{n})_{n\geq 0}$ définie par

$\textstyle A_{n}=\{X_{n+1}=0\}=\{\omega \in \Omega \ |\ X_{n+1}(\omega )=0\}.$

Limite supérieure d'ensembles

Définition —  La limite supérieure $\scriptstyle \limsup _{n}\,A_{n}$ d'une suite $\scriptstyle \ (A_{n})_{n\geq 0}\,$ de parties d'un ensemble $\scriptstyle \Omega$ est l'ensemble des éléments $\scriptstyle \omega$ de $\scriptstyle \Omega$ tels que l'assertion $\scriptstyle \{\omega \in A_{k}\}$ soit vérifiée pour une infinité d'indices $\scriptstyle k\geq 0$.

En d'autres termes, on peut dire que $\scriptstyle \ \omega \in \limsup _{n}\,A_{n}$ si et seulement si l'ensemble $\scriptstyle \{k\geq 0\ \vert \ \omega \in A_{k}\}$ est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout $\scriptstyle n\geq 0$, on peut trouver $\scriptstyle k\geq n$ tel que $\scriptstyle \omega \in A_{k}$. Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles :

$\limsup _{n}A_{n}=\bigcap _{n\geq 0}(\bigcup _{k\geq n}A_{k}).$

Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi parfois que $\scriptstyle \ \omega \in \limsup _{n}\,A_{n}$ si et seulement si $\scriptstyle \ \{\omega \in A_{k}\}\$ "infiniment souvent" ou bien "infinitely often", d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :

$\mathbb {P} \left(\limsup _{n}A_{n}\right)=\mathbb {P} \left(A_{n}\quad {\text{i.o.}}\right).$

Finalement, remarquons que la définition "$\scriptstyle \ \omega \in \limsup _{n}\,A_{n}$ si et seulement si $\scriptstyle \ \omega \$ appartient à une infinité de $\scriptstyle \ A_{k}\$" peut induire en erreur : si par exemple toutes les parties $\scriptstyle \ A_{k}\$ sont égales, il se peut que $\scriptstyle \ \omega \$ appartienne à $\scriptstyle \ A_{k}\$ pour une infinité d'indices $\scriptstyle \ k\$, et il se peut donc que $\scriptstyle \ \omega \$ appartienne à $\scriptstyle \ \limsup _{n}\,A_{n},$ sans pour autant qu'$\scriptstyle \ \omega \$ appartienne à une infinité de $\scriptstyle \ A_{k}\$ (puisqu'il n'existe, au fond, qu'un seul $\scriptstyle \ A_{k}$).

Théorème de Borel-Cantelli (théorie de la mesure)

Pour un espace mesuré général $\scriptstyle \ (X,{\mathcal {A}},\mu )$, le lemme de Borel-Cantelli prend la forme suivante :

Théorème de Borel-Cantelli — Soit $\scriptstyle \ (A_{n})_{n\geq 0}$ une suite dans $\scriptstyle \ {\mathcal {A}}$. Si

$\sum _{n\geq 0}\mu (A_{n})<+\infty ,$

alors

$\mu (\limsup _{n}A_{n})=0.$

Démonstration

Posons

$B_{n}=\bigcup _{k\geq n}A_{k},$

et remarquons que

• $\scriptstyle \ B_{n}\$ est une suite décroissante (pour l'inclusion) d'éléments de $\scriptstyle \ {\mathcal {A}},$ car $\scriptstyle \ B_{n}=A_{n}\cup B_{n+1}$ ;
• pour tout $\scriptstyle \ n\geq 0,$ on a $\scriptstyle \ \mu (B_{n})<+\infty .$

Le deuxième point découle de la majoration

$\mu (B_{n})=\mu \left(\bigcup _{k\geq n}A_{k}\right)\leq \sum _{k\geq n}\mu (A_{k}),$

et de l'hypothèse du théorème de Borel-Cantelli, selon laquelle $\scriptstyle \ \mu (A_{n})\$ est le terme général d'une série convergente. Les 2 conditions permettant de conclure que

$\mu \left(\bigcap _{n\geq 0}B_{n}\right)=\lim _{n}\ \mu (B_{n})$

sont ainsi remplies. De plus $\scriptstyle \ \mu (B_{n})\$ est majorée par

$r_{n}=\sum _{k\geq n}\mu (A_{k}),$

qui est le reste d'une série convergente, donc

$\lim _{n}\ \mu (B_{n})=0.$

Comme

$\limsup _{n}A_{n}=\bigcap _{n\geq 0}B_{n},$

on conclut que

$\mu \left(\limsup _{n}A_{n}\right)=0.$

CQFD

Lemme de Borel-Cantelli (probabilités)

Un espace probabilisé $\scriptstyle \ \left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right)$ est un cas particulier d'espace mesuré, en ce qu'on suppose, de plus, que $\scriptstyle \ \mathbb {P} \left(\Omega \right)=1$, alors que la seule restriction du même ordre sur $\scriptstyle \ (X,{\mathcal {A}},\mu )$ est $\scriptstyle \ \mu (X)\geq 0.$ En particulier, le lemme de Borel-Cantelli donné en introduction est une forme affaiblie du théorème de Borel-Cantelli donné à la section précédente. Peut-être le lemme de Borel-Cantelli est-il plus populaire en probabilités, où il est crucial dans la démonstration, par Kolmogorov, de la loi forte des grands nombres (s'il ne faut donner qu'un seul exemple). Dans le cadre probabiliste, une formulation plus formelle du lemme donné en langage intuitif dans l'introduction pourrait donc s'écrire :

Lemme de Borel-Cantelli — Dans un espace probabilisé $\scriptstyle \ \left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right),$ considérons une suite $\scriptstyle \ (A_{n})_{n\geq 0}$ d'éléments de $\scriptstyle \ {\mathcal {A}}$. Si

$\sum _{n\geq 0}\mathbb {P} (A_{n})<+\infty ,$

alors

$\mathbb {P} (\limsup _{n}A_{n})=0.$

Démonstration

La démonstration est en tout point identique à celle du théorème précédent. On pose

$B_{n}=\bigcup _{k\geq n}A_{k},$

et on remarque que $\scriptstyle \ B_{n}\$ est une suite décroissante (pour l'inclusion) d'éléments de $\scriptstyle \ {\mathcal {A}}.$ La condition "pour tout $\scriptstyle \ n\geq 0,$ on a $\scriptstyle \ \mathbb {P} (B_{n})<+\infty$" est ici automatiquement remplie. La majoration

$\mathbb {P} (B_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq n}A_{k}\right)\leq \sum _{k\geq n}\mathbb {P} (A_{k})$

reste vraie, mais n'est pas utile pour démontrer que

$\mathbb {P} \left(\bigcap _{n\geq 0}B_{n}\right)=\lim _{n}\ \mathbb {P} (B_{n}),$

propriété vraie, en probabilités, pour toute suite décroissante d'évènements. Par contre la majoration de $\scriptstyle \ \mathbb {P} (B_{n})\$ par le reste

$r_{n}=\sum _{k\geq n}\mathbb {P} (A_{k}),$

d'une série convergente est toujours indispensable pour conclure que

$\lim _{n}\ \mathbb {P} (B_{n})=0.$

On termine de la même manière que dans le cas général, à l'aide

$\limsup _{n}A_{n}=\bigcap _{n\geq 0}B_{n},$

pour conclure que

$\mathbb {P} \left(\limsup _{n}A_{n}\right)=0.$

CQFD

Loi du zéro-un de Borel

Le lemme de Borel-Cantelli ne doit pas être confondu avec la loi du zéro-un de Borel, parfois appelée second lemme de Borel-Cantelli :

Loi du zéro-un de Borel — Si les événements $\scriptstyle \ A_{n}$ sont indépendants, alors $\scriptstyle \ \mathbb {P} \left(\limsup _{n}A_{n}\right)$ vaut 0 ou 1 suivant que la série de terme général $\scriptstyle \ \mathbb {P} (A_{n})$ est convergente ou divergente.

La loi du zéro-un de Borel montre en particulier que l'hypothèse $\scriptstyle \ \sum _{n\geq 0}\mu (A_{n})<+\infty$ du lemme de Borel-Cantelli ne peut en aucun cas être affaiblie en $\scriptstyle \ \lim _{n}\mu (A_{n})=0$. En effet on peut avoir simultanément, d'une part $\scriptstyle \ \lim _{n}\mathbb {P} (A_{n})=0$, d'autre part (indépendance des $\scriptstyle \ A_{n}$ et $\scriptstyle \ \sum _{n\geq 0}\mathbb {P} (A_{n})=+\infty$), donc on peut avoir simultanément :

$\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n})=0\qquad {\text{et}}\qquad \mathbb {P} (\limsup _{n}A_{n})=1.$

Voir aussi

• Loi du zéro-un de Borel
• Francesco Paolo Cantelli, mathématicien italien
• Émile Borel, mathématicien français
• Loi du zéro un de Kolmogorov