Courbe implicite

Ovales de Cassini :



</br> (1) a=1.1, c=1 (ci-dessus),



</br> (2) a=c=1 (milieu),



</br> (3) a=1, c=1.05 (ci-dessous)

Courbe implicite : $\sin(x+y)-\cos(xy)+1=0$

Courbe implicite $\sin(x+y)-\cos(xy)+1=0$ comme courbes de niveau de la surface $z=\sin(x+y)-\cos(xy)+1$

En mathématiques, une courbe implicite est une courbe plane définie par une équation implicite reliant deux coordonnées, communément x et y . Par exemple, le cercle unité est défini par l'équation implicite $x^{2}+y^{2}=1$ . dans le cas général, une courbe implicite est définie par une équation de la forme

$F(x,y)=0$

où F est une fonction de deux variables. Une courbe implicite peut donc être considérée comme l'ensemble des zéros d'une fonction à deux variables. Implicite signifie que l'équation n'est pas exprimée comme y en fonction de x ou l'inverse.

Si $F$ est un polynôme à deux variables, la courbe correspondante est dite algébrique, et des méthodes spécifiques sont disponibles pour l'étudier.

Les courbes planes peuvent être représentées en coordonnées cartésiennes (coordonnées x, y ) par l'une des trois méthodes, dont l'une est l'équation implicite donnée ci-dessus. Le graphe d'une fonction est généralement décrit par une équation $y=f(x)$ dans lequel la forme fonctionnelle est explicitement indiquée ; c'est ce qu'on appelle une représentation explicite . La troisième description essentielle d'une courbe est la description paramétrique, où les coordonnées x et y des points de la courbe sont représentées par deux fonctions x(t), y(t) dont les deux formes fonctionnelles sont explicitement énoncées, et qui sont dépendantes par un paramètre commun $t.$

Voici des exemples de courbes implicites :

1. une droite : $x+2y-3=0,$
2. un cercle : $x^{2}+y^{2}-4=0,$
3. la parabole semi - cubique : $x^{3}-y^{2}=0,$
4. les ovales de Cassini :$(x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})-(a^{4}-c^{4})=0$ (voir figure),
5. $\sin(x+y)-\cos(xy)+1=0$ (voir figure).

Les quatre premiers exemples sont des courbes algébriques, mais le dernier ne l'est pas. Les trois premiers exemples possèdent des représentations paramétriques simples, ce qui est faux pour les quatrième et cinquième exemples. Le cinquième exemple montre la structure géométrique éventuellement compliquée d'une courbe implicite.

Le théorème des fonctions implicites décrit les conditions dans lesquelles une équation $F(x,y)=0$ peut être résolu implicitement en x et/ou y – c'est-à-dire sous lesquelles on peut valablement écrire $x=g(y)$ ou $y=f(x)$ . Ce théorème est la clé du calcul des caractéristiques géométriques essentielles de la courbe : tangentes, normales et courbure . En pratique les courbes implicites ont un inconvénient essentiel : leur visualisation est difficile. Mais il existe des programmes informatiques permettant d'afficher une courbe implicite. Les propriétés particulières des courbes implicites en font des outils indispensables en géométrie et en infographie.

Une courbe implicite d'équation $F(x,y)=0$ peut être considérée comme la courbe de niveau 0 de la surface $z=F(x,y)$ (voir la troisième figure).

Pente et courbure

En général, les courbes implicites échouent au test de la droite verticale (ce qui signifie que certaines valeurs de x sont associées à plus d'une valeur de y ) et ne sont donc pas nécessairement des graphes de fonctions. Cependant, le théorème des fonctions implicites donne des conditions dans lesquelles une courbe implicite est donnée localement par le graphe d'une fonction (donc en particulier elle n'a pas d'auto-intersections). Si les relations de définition sont suffisamment lisses, alors, dans de telles régions, les courbes implicites ont des pentes, des lignes tangentes, des vecteurs normaux et une courbure bien définis.

Il existe plusieurs manières de calculer ces quantités pour une courbe implicite donnée. Une méthode consiste à utiliser la différenciation implicite pour calculer les dérivées de y par rapport à x . Alternativement, pour une courbe définie par l'équation implicite $F(x,y)=0$, on peut exprimer ces formules directement en termes de dérivées partielles de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): {\displaystyle F} . Dans ce qui suit, les dérivées partielles sont notées $F_{x}$ (pour la dérivée par rapport à x ), $F_{y}$, $F_{xx}$ (pour la dérivée seconde partielle par rapport à x ), $F_{xy}$ (pour le seconde partielle mixte), $F_{yy}.$

Vecteur tangent et vecteur normal

Un point $(x_{0},y_{0})$ de la courbe est régulier si les dérivées partielles premières $F_{x}(x_{0},y_{0})$ et $F_{y}(x_{0},y_{0})$ sont non nulles.

L'équation de la tangente en un point régulier $(x_{0},y_{0})$ est donnée par :

$F_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})=0,$

donc la pente de la tangente, et donc la pente de la courbe en ce point, est

${\text{slope}}=-{\frac {F_{x}(x_{0},y_{0})}{F_{y}(x_{0},y_{0})}}.$

Si $F_{y}(x,y)=0\neq F_{x}(x,y)$ en $(x_{0},y_{0}),$ la courbe est verticale en ce point, alors que si les deux $F_{y}(x,y)=0$ et $F_{x}(x,y)=0$ à ce point, la courbe n'y est pas différentiable, mais est plutôt un point singulier - soit un point de rebroussement, soit un point où la courbe présente un croisement.

Un vecteur normal à la courbe au point est donné par

$\mathbf {n} (x_{0},y_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0}))$

(ici écrit comme un vecteur ligne).

Courbure

Pour la lisibilité des formules, les arguments $(x_{0},y_{0})$ sont omis. La courbure $\kappa$ en un point régulier est donnée par la formule

$\kappa ={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy}}{(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}}$ .

Obtention des formules précédentes

Le théorème des fonctions implicites garantit au voisinage d'un point $(x_{0},y_{0})$ l'existence d'une fonction $f$ tel que $F(x,f(x))=0$ . Par la règle de dérivation des fonctions composées, les dérivées de la fonction $f$ sont

$f'(x)=-{\frac {F_{x}(x,f(x))}{F_{y}(x,f(x))}}$ et $f''(x)={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy}}{F_{y}^{3}}}$

(où les arguments $(x,f(x))$ à droite de la deuxième formule sont omis pour faciliter la lecture).

L'insertion des dérivées de la fonction $f$ dans les formules de la tangente et la courbure de la courbe d'équation explicite $y=f(x)$ donne

$y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$ (tangente)

$\kappa (x_{0})={\frac {f''(x_{0})}{(1+f'(x_{0})^{2})^{3/2}}}$ (courbure).

Avantage et inconvénient des courbes implicites

Désavantage

L'inconvénient essentiel d'une courbe implicite est l'absence d'une possibilité facile de calculer des points uniques qui est nécessaire pour la visualisation d'une courbe implicite (voir la section suivante).

Avantages

1. Les représentations implicites facilitent le calcul des points d'intersection : si une courbe est représentée implicitement et l'autre paramétriquement, le calcul des points d'intersection ne nécessite qu'une simple itération de Newton (à 1 dimension), ce qui est contraire aux cas implicite-implicite et paramétrique-paramétrique ( voir Intersection ).
2. Une représentation implicite $F(x,y)=0$ donne la possibilité de séparer les points hors de la courbe par le signe de $F(x,y)$ . Cela peut être utile par exemple en appliquant la méthode de la fausse position au lieu d'une itération de Newton.
3. Il est facile de générer des courbes qui sont presque géométriquement similaires à la courbe implicite donnée $F(x,y)=0,$ en ajoutant juste un petit nombre : $F(x,y)-c=0$ (voir section #Approximations lisses ).

Applications des courbes implicites

Approximation lisse d'un polygone convexe

Approximation lisse de 1) la moitié d'un cercle, 2) l'intersection de deux cercles

Dans les mathématiques, les courbes implicites jouent un rôle important en tant que courbes algébriques. De plus, des courbes implicites sont utilisées pour concevoir des courbes de formes géométriques souhaitées. Voici deux exemples.

Approximations lisses

Une approximation douce d'un polygone convexe peut être obtenue de la manière suivante : Soit $g_{i}(x,y)=a_{i}x+b_{i}y+c_{i}=0,\ i=1,\dotsc ,n$ les équations des droites contenant les bords du polygone telles que pour un point intérieur du polygone $g_{i}$ est positif. Alors un sous-ensemble de la courbe implicite

$F(x,y)=g_{1}(x,y)\cdots g_{n}(x,y)-c=0$

avec un petit paramètre approprié $c$ est une approximation lisse (différentiable) du polygone. Par exemple, les courbes

$F(x,y)=(x+1)(-x+1)y(-x-y+2)(x-y+2)-c=0$ pour $c=0.03,\dotsc ,0.6$

contiennent des approximations lisses d'un polygone à 5 côtés (voir figure).

Couples de droites

Dans le cas de deux droites

$F(x,y)=g_{1}(x,y)g_{2}(x,y)-c=0$

on obtient

un faisceau de droites parallèles, si les droites données sont parallèles ou

un faisceau d'hyperboles ayant pour asymptotes les droites données.

Par exemple, le produit des variables des axes de coordonnées donne le faisceau des hyperboles $xy-c=0,\ c\neq 0$, ayant les axes de coordonnées comme asymptotes.

Autres cas

Si l'on part de simples courbes implicites autres que des droites (cercles, paraboles,...) on obtient un large éventail de nouvelles courbes intéressantes. Par exemple,

$F(x,y)=y(-x^{2}-y^{2}+1)-c=0$

(produit d'un cercle et de l'axe des x) donne des approximations lisses d'une moitié de cercle (voir image), et

$F(x,y)=(-x^{2}-(y+1)^{2}+4)(-x^{2}-(y-1)^{2}+4)-c=0$

(produit de deux cercles) donne des approximations lisses de l'intersection de deux cercles (voir schéma).

Courbes de fusion

Courbe de fusion (rouge) de deux cercles

En CAO on utilise des courbes implicites pour la génération de courbes de mélange, qui sont des courbes spéciales établissant une transition douce entre deux courbes données. Par exemple,

$F(x,y)=(1-\mu )f_{1}f_{2}-\mu (g_{1}g_{2})^{3}=0$

génère des courbes de fusion entre les deux cercles

$f_{1}(x,y)=(x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}=0,$

$f_{2}(x,y)=(x-x_{2})^{2}+y^{2}-r_{2}^{2}=0.$

La méthode garantit la continuité des tangentes et des courbures aux points de contact (voir schéma). Les deux droites

$g_{1}(x,y)=x-x_{1}=0,\ g_{2}(x,y)=x-x_{2}=0$

déterminent les points de contact aux cercles. Le paramètre $\mu$ est un paramètre de conception. Dans le schéma, $\mu =0.05,\dotsc ,0.2$ .

Courbes équipotentielles de deux charges ponctuelles

Courbes équipotentielles de deux charges ponctuelles situées aux points bleus

Les courbes équipotentielles de deux charges ponctuelles égales aux points $P_{1}=(1,0),\;P_{2}=(-1,0)$ sont représentées par l'équation

$f(x,y)={\frac {1}{|PP_{1}|}}+{\frac {1}{|PP_{2}|}}-c$

$={\frac {1}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}}}}-c=0.$

Les courbes ressemblent aux ovales de Cassini, mais ce ne sont pas de telles courbes.

Visualisation d'une courbe implicite

Pour visualiser une courbe implicite, on détermine généralement un polygone sur la courbe et on affiche le polygone. Pour une courbe paramétrique, c'est une tâche facile : on calcule simplement les points d'une séquence de valeurs paramétriques. Pour une courbe implicite, il faut résoudre deux sous-problèmes :

1. détermination d'un premier point de courbe à un point de départ donné au voisinage de la courbe,
2. détermination d'un point de courbe à partir d'un point de courbe connu.

Dans les deux cas, il est raisonnable de supposer $\operatorname {grad} F\neq (0,0)$ . En pratique, cette hypothèse n'est violée qu'en des points isolés.

Algorithme ponctuel

Pour la solution des deux tâches mentionnées ci-dessus, il est indispensable de disposer d'un programme informatique (que nous appellerons ${\mathsf {CPoint}}$ ), qui, lorsqu'on lui donne un point $Q_{0}=(x_{0},y_{0})$ près d'une courbe implicite, trouve un point $P$ qui est exactement sur la courbe:

(P1) pour le point de départ est $j=0$

(P2) répéter

$(x_{j+1},y_{j+1})=(x_{j},y_{j})-{\frac {F(x_{j},y_{j})}{F_{x}(x_{j},y_{j})^{2}+F_{y}(x_{j},y_{j})^{2}}}\,\left(F_{x}(x_{j},y_{j}),F_{y}(x_{j},y_{j})\right)$

( Pas de Newton pour la fonction $g(t)=F\left(x_{j}+tF_{x}(x_{j},y_{j}),y_{j}+tF_{y}(x_{j},y_{j})\right)\ .$ )

(P3) jusqu'à la distance entre les points $(x_{j+1},y_{j+1}),\,(x_{j},y_{j})$ est assez petit.

(P4) $P=(x_{j+1},y_{j+1})$ est le point de la courbe près du point de départ $Q_{0}$ .

Algorithme de traçé

à l'algorithme de traçage : les points de départ sont verts

Afin de générer un polygone presque également espacé sur la courbe implicite, on choisit une longueur de pas $s$ et

(T1) choisit un point de départ approprié à proximité de la courbe

(T2) détermine un premier point de courbe $P_{1}$ en utilisant le programme ${\mathsf {CPoint}}$

(T3) détermine la tangente (voir ci-dessus), choisit un point de départ sur la tangente en utilisant la longueur du pas $s$ (voir schéma) et détermine un deuxième point de courbe $P_{2}$ en utilisant le programme ${\mathsf {CPoint}}$ .

$\cdots$

Comme l'algorithme trace la courbe implicite, on l'appelle un algorithme de traçage . L'algorithme ne trace que les parties connexes de la courbe. Si la courbe implicite se compose de plusieurs parties, elle doit être démarrée plusieurs fois avec des points de départ appropriés.

Exemple : Une illustration de l'algorithme raster appliqué à la courbe implicite $F(x,y)=(3x^{2}-y^{2})^{2}y^{2}-(x^{2}+y^{2})^{4}=0$ . La courbe (rouge) est ce que l'algorithme essaie de dessiner. Les points raster (noirs) sont utilisés comme points de départ pour trouver les points les plus proches sur la courbe (cercles rouges). L'espacement entre chaque point raster est exagéré pour afficher les points de courbe individuels ; pour tracer plus précisément la courbe, plus de points raster seraient utilisés.

Algorithme de pixellisation

Si la courbe implicite est constituée de plusieurs parties, voire inconnues, il peut être préférable d'utiliser un algorithme de pixellisation . Au lieu de suivre exactement la courbe, un tel algorithme couvre toute la courbe en tant de points qu'ils se mélangent et ressemblent à la courbe.

(R1) Générer un réseau de points (raster) sur la zone d'intérêt du plan xy.

(R2) Pour chaque point $P$ dans le raster, exécutez l'algorithme de point ${\mathsf {CPoint}}$ à partir de P, puis marquez sa sortie.

Si le réseau est suffisamment dense, le résultat se rapproche des parties connectées de la courbe implicite. Si, pour d'autres applications, des polygones sur les courbes sont nécessaires, on peut tracer des parties d'intérêt par l'algorithme de traçage.

Courbes implicites 3d

Une courbe dans l'espace définie par deux équations

${\begin{matrix}F(x,y,z)=0,\\G(x,y,z)=0\end{matrix}}$

s'appelle une courbe 3d implicite .

Un point $(x_{0},y_{0},z_{0})$ de la courbe est dit régulier si le produit vectoriel des gradients de $F$ et $G$ n'est pas nul en point:

$\mathbf {t} (x_{0},y_{0},z_{0})=\operatorname {grad} F(x_{0},y_{0},z_{0})\times \operatorname {grad} G(x_{0},y_{0},z_{0})\neq (0,0,0);$

sinon il est dit singulier . Le vecteur $\mathbf {t} (x_{0},y_{0},z_{0})$ est un vecteur tangent à la courbe au point $(x_{0},y_{0},z_{0}).$

Courbe d'intersection entre une sphère et un cylindre

Exemples:

$(1)\quad x+y+z-1=0\ ,\ x-y+z-2=0$

est une droite.

$(2)\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0\,\ x+y+z-1=0$

est une section plane de sphère, donc un cercle.

$(3)\quad x^{2}+y^{2}-1=0\,\ x+y+z-1=0$

est une ellipse (section plane d'un cylindre).

$(4)\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-16=0\,\ (y-y_{0})^{2}+z^{2}-9=0$

est la courbe d'intersection entre une sphère et un cylindre.

Pour le calcul des points de courbe et la visualisation d'une courbe d'espace implicite voir Intersection .

Voir également

• Surface implicite

Références

• Gomes, A., Voiculescu, I., Jorge, J., Wyvill, B., Galbraith, C.: Implicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures and Algorithms, 2009, Springer-Verlag London, (ISBN 978-1-84882-405-8)
• C:L : Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch : Traçage des intersections de surface, Comp. Géom aidé. Conception 5 (1988), 285-307.
• Géométrie et Algorithmes pour la CONCEPTION ASSISTEE PAR ORDINATEUR

Liens externes

• Famous curves