Méthode de la fausse position

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La méthode de la fausse position ou méthode regula falsi ou méthode des excédents et déficits est au départ une méthode arithmétique.

Plus récemment, on appelle ainsi en analyse numérique, un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction, qui combine les possibilités de la méthode de dichotomie et de la méthode de la sécante.

La méthode arithmétique originelle[modifier | modifier le code]

De l'antiquité au XVIIe siècle, son efficacité a longtemps permis de régler les problèmes linéaires sans recours à l'algèbre. Il en existe deux versions : simple et double, qui établissent la solution cherchée en exploitant le défaut présenté par une (resp. 2) solution(s) supposée(s).

On trouve cette méthode notamment chez Fibonacci, Luca Pacioli, Nicolas Chuquet, Robert Recorde.

Fausse position simple[modifier | modifier le code]

Elle règle les problèmes linéaires à une inconnue. Pour cela, on part d'une solution supposée et on évalue son résultat. En supposant la proportionnalité, une règle de trois donne la vraie solution.

Employée sinon explicitée en Égypte, à Babylone et dans l'antiquité grecque tardive, on la trouve ensuite aux Indes et dans le monde arabe, puis en Occident.

Exemple[modifier | modifier le code]

A, B et C ont partagé une certaine somme. A a reçu un tiers, B un quart, et C 1 760 écus. Quelle était la somme ?

Supposons une somme de 3·4 = 12 écus. A aurait reçu 12/3 = 4 écus ; B aurait reçu 12/4 = 3 écus. C aurait reçu 12 - 4 - 3 = 5 écus. Or il en a reçu 1 760. La somme était donc 12·(1 760/5)= 4 224 écus ( 4 224/3 = 1 408 pour A, 4 224/4 = 1 056 pour B, 4 224 - 1 408 - 1 056 = 1 760 pour C).

En termes modernes[modifier | modifier le code]

La méthode permet de résoudre une équation linéaire à une inconnue. Par exemple, si l'on appelle S la somme totale, on a :

A = S/3, B = S/4, C = 1 760

et l'on sait que

A + B + C = S

ce qui donne l'équation

S/3 + S/4 + 1 760 = S

qui est bien une équation linéaire en S, puisqu'elle s'écrit

5/12⋅S - 1 760 = 0.

La méthode de la fausse position permet d'éviter l'étape de la mise en équation, mais ne fonction que pour un problème faisant intervenir un loi proportionnelle.

Fausse position double[modifier | modifier le code]

Elle règle les problèmes linéaires à deux inconnues. Pour cela, on part de deux solutions supposées, distinctes, dont on compare les écarts à l'objectif. La confrontation des excédents ou déficits mène à la solution comme somme pondérée d'écart nul des 2 solutions supposées.

Les plus anciens documents retrouvés relatifs à cette méthode remontent à une date estimée entre 200 av. J.-C. et 100, comme le texte chinois intitulé les neuf chapitres sur l'art mathématique (九章算術).

Longtemps seule utilisée en Chine, cette méthode l'a également été dans le monde arabe puis en Occident.

Exemple[modifier | modifier le code]

Ce marchand a acheté 120 foulards, les uns à 2 écus, les autres à 5 écus, pour une somme de 468 écus. Combien a-t-il acheté de foulards de chaque sorte ?

  • 60 foulards à 2 écus, et 120 - 60 = 60 foulards à 5 écus auraient coûté 60·2 + 60·5 = 420 écus, d'où un défaut de 468 - 420 = 48 écus.
  • 50 foulards à 2 et 70 à 5 écus auraient coûté 50·2 + 70·5 = 450 écus, d'où un défaut de 468-450 = 18 écus

Acheter 60 - 50 = 10 foulards à 2 écus de moins réduit le défaut de 48 - 18 = 30 écus, et il reste un défaut de 18 écus dans la seconde solution. Le marchand a donc acheté 10·18/30= 6 foulards de moins que dans la seconde hypothèse. Il a donc acheté 50 - 6 = 44 foulards à 2 écus (soit 88 écus) et 120 - 44 = 76 foulards à 5 écus (soit 380 écus).

En termes modernes[modifier | modifier le code]

La méthode permet de résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues. En effet, si l'on appelle n2 le nombre de foulards à 2 écus et n5 le nombre de foulards à 5 écus, alors le problème nous dit que :

\begin{cases}
n_2 + n_5 = 120 \\
2 \cdot n_2 + 5 \cdot n_5 = 468
\end{cases}

La méthode de fausse position en analyse numérique[modifier | modifier le code]

C'est une méthode itérative pour trouver un zéro d'une fonction continue, méthode dont chaque étape relève de la fausse position double originelle.

Étapes successives de la méthode regula falsi avec l'intervalle [a1;b1] comme point de départ. La racine de la fonction est le point en rouge.

Comme la méthode de dichotomie, la méthode de la fausse position commence par deux points a1 et b1 tels que f(a1) et f(b1) soient de signes opposés, ce qui implique d’après le théorème des valeurs intermédiaires que la fonction continue f possède au moins un zéro dans l’intervalle [a1, b1]. La méthode consiste à produire une suite décroissante d’intervalles [ak, bk] qui contiennent tous un zéro de f.

À l’étape k, le nombre

 c_k = a_k - \frac{a_k-b_k}{f(a_k)-f(b_k)} f(a_k)

est calculé. Comme expliqué ci-dessous, ck est l’abscisse de l’intersection de la droite passant par (ak, f(ak)) et (bk, f(bk)) avec l'axe des abscisses, que nous appellerons pour simplifier zéro de la sécante. Si f(ak) et f(ck) sont de mêmes signes, alors nous posons ak+1 = ck et bk+1 = bk, sinon nous posons ak+1 = ak et bk+1 = ck. Ce procédé est répété jusqu’à ce que le zéro soit suffisamment approché.

La formule ci-dessus est également employée dans la méthode de la sécante, mais cette dernière retient systématiquement les deux derniers points calculés, alors que la méthode de la fausse position retient deux points qui encadrent certainement un zéro. D'autre part, la seule différence entre la méthode de la fausse position et la méthode de dichotomie est l’utilisation la relation ck = (ak + bk) / 2.

Recherche du zéro de la sécante[modifier | modifier le code]

Étant donnés a et b, nous construisons la droite passant par les points (a, f(a)) et (b, f(b)), comme dans la figure ci-contre. Remarquons que cette droite est une sécante ou une corde du graphe de la fonction f. En utilisant la pente et un point, l’équation de la droite peut s’écrire

 y - f(b) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-b).

Nous déterminons maintenant c, l’abscisse du point d’intersection de cette droite avec l’axe des abscisses (zéro de la sécante) donnée par

 f(b) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (c-b) = 0.

La résolution de l’équation précédente donne ck.

Analyse[modifier | modifier le code]

Si les valeurs initiales a0 et b0 sont prises telles que f(a0) et f(b0) soient de signes opposés, alors la méthode de fausse position convergera vers un zéro de f. La vitesse de convergence sera typiquement superlinéaire, ainsi plus rapide que la méthode de dichotomie, mais plus lente que la méthode de la sécante.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Méthode de Newton

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Méthodes de fausse position, sur le site ChronoMath