« Théorème d'Orlicz-Pettis » : différence entre les versions

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En analyse fonctionnelle (mathématique), le théorème d'Orlicz-Pettis établit un lien, pour une série dans un espace de Banach, entre la convergence des sous-séries pour la topologie faible et pour la topologie forte (celle de la norme) :

Pour une série $\Sigma _{n}x_{n}$ dans un espace de Banach, si toutes les sous-séries $\Sigma _{m}x_{n_{m}}$ ( $n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots$ ) sont faiblement convergentes alors elles le sont aussi fortement, autrement dit^[1] la série est inconditionnellement convergente.

Ce théorème a été démontré en 1929 par Władysław Orlicz^[2] dans le cas d'un espace vectoriel normé faiblement séquentiellement complet^[3] puis, indépendamment, en 1938 par Billy James Pettis dans le cas général^[4]. Des preuves modernes^[5] utilisent l'intégrale de Bochner. À l'inverse, c'est justement la théorie des intégrales à valeurs vectorielles qui motivait Pettis pour ce théorème. Ce résultat a connu toute une série de généralisations. Par exemple pour une série dans un espace localement convexe, si toutes les sous-séries convergent faiblement alors elles convergent pour la topologie de Mackey (en)^[6].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(de)/(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en allemand « Satz von Orlicz-Pettis » (voir la liste des auteurs) et en anglais « Orlicz–Pettis theorem » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) J. Diestel et J. J. Uhl, Jr., Vector Measures, Providence, R.I., AMS, coll. « Mathematical Surveys » (n^o 15), 1977 (lire en ligne), p. 22.
↑ (de) W. Orlicz, « Beitrage zur Theorie der Orthogonalentwicklungen II », Studia Math., vol. 1,‎ 1929, p. 241-255 (lire en ligne).
↑ Diestel et Uhl, Jr. 1977, p. 34.
↑ (en) B. J. Pettis, « On Integration in Vector Spaces », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 44,‎ 1938, p. 277-304 (lire en ligne).
↑ (en) Joseph Diestel, Sequences and Series in Banach Spaces, Springer, coll. « GTM » (n^o 92), 2012 (1^re éd. 1984) (ISBN 978-1-4612-9734-5).
↑ (en) Peter Dierolf, « Theorems of the Orlicz-Pettis Type for Locally Convex Spaces », Manuscripta Mathematica, vol. 20,‎ 1977, p. 73-94 (lire en ligne).

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[1] (en) J. Diestel et J. J. Uhl, Jr., Vector Measures, Providence, R.I., AMS, coll. « Mathematical Surveys » (n^o 15), 1977 (lire en ligne), p. 22.

[2] (de) W. Orlicz, « Beitrage zur Theorie der Orthogonalentwicklungen II », Studia Math., vol. 1,‎ 1929, p. 241-255 (lire en ligne).

[3] Diestel et Uhl, Jr. 1977, p. 34.

[4] (en) B. J. Pettis, « On Integration in Vector Spaces », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 44,‎ 1938, p. 277-304 (lire en ligne).

[5] (en) Joseph Diestel, Sequences and Series in Banach Spaces, Springer, coll. « GTM » (n^o 92), 2012 (1^re éd. 1984) (ISBN 978-1-4612-9734-5).

[6] (en) Peter Dierolf, « Theorems of the Orlicz-Pettis Type for Locally Convex Spaces », Manuscripta Mathematica, vol. 20,‎ 1977, p. 73-94 (lire en ligne).

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 En [[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] ([[mathématique]]), le '''théorème d'Orlicz-Pettis''' établit un lien, pour une [[Série (mathématiques)|série]] dans un [[espace de Banach]], entre la convergence des sous-séries pour la [[topologie faible]] et pour la [[topologie forte]] (celle de la [[Norme (mathématiques)|norme]]) :
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+{{énoncé|Pour une série <math>\Sigma_n x_n</math> dans un espace de Banach, si toutes les sous-séries <math>\Sigma_m x_{n_m}</math> (<math>n_0<n_1<n_2<\ldots</math>) sont faiblement convergentes alors elles le sont aussi fortement, autrement dit<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=J.|nom1=Diestel|prénom2=J. J.|nom2=Uhl, Jr.|titre=Vector Measures|lieu=Providence, R.I.|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|collection=Mathematical Surveys|numéro dans collection=15|année=1977|passage=22|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=NCm4E2By8DQC&pg=PA22}}.</ref> la série est [[Convergence inconditionnelle|inconditionnellement convergente]].}}
-Ce [[théorème]] a été démontré en 1929 par [[Władysław Orlicz]]<ref>{{Article|lang=de|prénom=W.|nom=Orlicz|titre=Beitrage zur Theorie der Orthogonalentwicklungen II|lien périodique=Studia Mathematica|revue=Studia Math.|vol=1|année=1929|p.=241-255|url=https://eudml.org/doc/216979}}.</ref> dans le cas d'un [[espace vectoriel normé]] faiblement [[Suite de Cauchy#Suite de Cauchy dans un espace uniforme|séquentiellement complet]]<ref>{{Harvsp|Diestel|Uhl, Jr.|1977|p=[https://books.google.fr/books?id=NCm4E2By8DQC&pg=PA34 34]}}.</ref> puis, indépendamment, en 1938 par [[Billy James Pettis]] dans le cas général<ref>{{Article|lang=en|prénom=B. J.|nom=Pettis|titre=On Integration in Vector Spaces|lien périodique=Transactions of the American Mathematical Society|revue=Trans. Amer. Math. Soc.|vol=44|année=1938|p.=277-304|url=http://www.ams.org/journals/tran/1938-044-02/S0002-9947-1938-1501970-8/}}.</ref>. Des preuves modernes<ref>{{Ouvrage|lang=en|prénom=Joseph|nom1=Diestel|titre=Sequences and Series in Banach Spaces|année première édition=1984|année=2012|isbn=978-1-46129734-5|éditeur=Springer|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=92}}.</ref> utilisent l'[[intégrale de Bochner]]. À l'inverse, c'est justement la théorie des intégrales à valeurs vectorielles qui motivait Pettis pour ce théorème. Ce résultat a connu toute une série de généralisations. Par exemple pour une série dans un [[espace localement convexe]], si toutes les sous-séries convergent faiblement alors elles convergent pour la {{Lien|trad=Mackey topology|topologie de Mackey}}<ref>{{Article|lang=en|prénom=Peter|nom=Dierolf|titre=Theorems of the Orlicz-Pettis Type for Locally Convex Spaces|revue=[[Manuscripta Mathematica]]|vol=20|année=1977|p.=73-94|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN365956996_0020&DMDID=DMDLOG_0008}}.</ref>.
+Ce [[théorème]] a été démontré en 1929 par [[Władysław Orlicz]]<ref>{{Article|lang=de|prénom=W.|nom=Orlicz|titre=Beitrage zur Theorie der Orthogonalentwicklungen II|lien périodique=Studia Mathematica|revue=Studia Math.|vol=1|année=1929|p.=241-255|url=https://eudml.org/doc/216979}}.</ref> dans le cas d'un [[espace vectoriel normé]] faiblement [[Suite de Cauchy#Suite de Cauchy dans un espace uniforme|séquentiellement complet]]<ref>{{Harvsp|Diestel|Uhl, Jr.|1977|p=[https://books.google.fr/books?id=NCm4E2By8DQC&pg=PA34 34]}}.</ref> puis, indépendamment, en 1938 par [[Billy James Pettis]] dans le cas général<ref>{{Article|lang=en|prénom=B. J.|nom=Pettis|titre=On Integration in Vector Spaces|lien périodique=Transactions of the American Mathematical Society|revue=Trans. Amer. Math. Soc.|vol=44|année=1938|p.=277-304|url=http://www.ams.org/journals/tran/1938-044-02/S0002-9947-1938-1501970-8/}}.</ref>. Des preuves modernes<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Joseph|nom1=Diestel|titre=Sequences and Series in Banach Spaces|éditeur=Springer|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=92|année=2012|année première édition=1984|isbn=978-1-4612-9734-5}}.</ref> utilisent l'[[intégrale de Bochner]]. À l'inverse, c'est justement la théorie des intégrales à valeurs vectorielles qui motivait Pettis pour ce théorème. Ce résultat a connu toute une série de généralisations. Par exemple pour une série dans un [[espace localement convexe]], si toutes les sous-séries convergent faiblement alors elles convergent pour la {{Lien|trad=Mackey topology|topologie de Mackey}}<ref>{{Article|lang=en|prénom=Peter|nom=Dierolf|titre=Theorems of the Orlicz-Pettis Type for Locally Convex Spaces|revue=[[Manuscripta Mathematica]]|vol=20|année=1977|p.=73-94|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN365956996_0020&DMDID=DMDLOG_0008}}.</ref>.
 == Notes et références ==