Variété finslérienne

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En mathématiques, et en particulier en géométrie la notion de longueurs d'un arc joue un rôle important. Il est fortement lié à la notion de tangente et de vitesse d'une courbe. Une variété finslérienne (ou variété de Finsler) est une variété différentielle admettant sur ses espaces tangents une norme faible permettant de mesurer la longueur des arcs.

Définitions et exemples élémentaires[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Une variété finslérienne est la donnée d'une variété différentielle lisse et en chaque point de d'une fonction à valeurs réelles sur l'espace tangent , telle que

  1. En tout point de la variété , est une norme faible, c'est-à-dire qu'elle satisfait les propriétés suivantes
    1. (Positivité) Elle est positive, i.e, pour tout vecteur ;
    2. (Séparation) Elle est définie au sens où ;
    3. (Homogénéité positive) Pour tout nombre réel positif , et pour tout vecteur de , ;
    4. (Inégalité triangulaire) Pour tout couple de vecteurs et de , ,
  2. Pour tout champs de vecteurs de la fonction est de régularité .

La fonction est appelée métrique de Finsler, et on dit que la variété est munie d'une structure finslérienne. Si la norme faible est une norme, c'est-à-dire que pour tout vecteur de on a , on dit alors que la métrique est réversible.

Remarques[modifier | modifier le code]

Une définition restrictive consiste à remplacer l'inégalité triangulaire par la convexité quadratique de , c'est-à-dire à exiger que le hessien de soit défini positif. Par hessien on entend la forme bilinéaire suivante :

.

Une autre manière de parler de la convexité quadratique revient à dire que le sous ensemble convexe , appelé boule unité de au point , admet en chaque point de son bord un ellipsoïde osculateur à l'ordre deux. Il revient au même de dire que la courbure de Gauss du bord de est strictement positive en tout point. Il est entendu que dans ce cas la fonction doit être suffisamment régulière pour que les dits objets existent. On appel tenseur fondamental le tenseur dans ce cas.

Exemples[modifier | modifier le code]

  1. Un espace vectoriel muni d'une norme faible. Si la norme est quadratiquement convexe on parle de norme de Minkowski.
  2. Une variété riemannienne, qui correspond au cas où est une forme quadratique définie positive en tout point de la variété. Dans ce cas, est un espace euclidien pour tout point de . Dans ce cas le tenseur fondamental est égal à la forme bilinéaire symétrique définie positive associée à la forme quadratique .
  3. Métrique de Randers. Elle est construite à partir d'une métrique riemannienne en la perturbant par une 1-forme. Plus précisément, si est une variété riemannienne et est une forme différentielle de degré un sur la variété, dont la norme est strictement plus petite que 1 (c'est-à-dire que pour tout et tout ), on peut définir la métrique de Finsler suivante . Dans ce cas la boule unité est encore un ellipsoïde, mais il n'est plus centré en l'origine.
  4. Géométrie de Hilbert[1]. Elles sont définies à l'intérieur d'un sous-ensemble convexe ouvert et borné d'un espace euclidien comme suit. Soit est un tel ensemble convexe de l'espace euclidien . On considère un point et un vecteur (dans ce cas l'espace tangent est identifié à ). La droite passant par le point et dirigée par le vecteur intersecte le bord de l'ensemble convexe en deux points et (ceci est en fait une caractérisation des ensembles convexes). On pose alors

Longueur, géodésiques[modifier | modifier le code]

Définition de la longueur d'une courbe[modifier | modifier le code]

Si est une variété finslérienne on peut définir la longueur d'une courbe qui est par morceaux à l'aide de la formule suivante

Les géodésiques sont les courbes qui minimisent la longueur entre les points de leurs images.

Remarques[modifier | modifier le code]

  1. L'homogénéité positive de la métrique de Finsler implique que la longueur d'une courbe reste invariante par reparamétrisation croissante. Attention au fait que si la métrique n'est pas réversible le sens de parcours influe sur sa longueur.
  2. Si la métrique est suffisamment lisse, alors le calcul des variations nous permet de faire apparaitre une équation d'Euler-Lagrange qui est doit être satisfaite par les géodésiques. C'est le cas pour une métrique de Finsler quadratiquement convexe par exemple.

Courbure drapeau des métriques quadratiquement convexes[modifier | modifier le code]

Soit un champ de vecteur sur un ouvert O de la variété finslérienne , dont la métrique est quadratiquement convexe.

On peut alors définir sur O une métrique riemannienne par l'égalité .

Considérons un segment géodésique et supposons que soit un champ de vecteur qui étend localement, sur un ouvert O contenant , le champ des vitesses . On peut ainsi considérer la métrique sur O.

Propriété[modifier | modifier le code]

La longueur de pour la métrique riemannienne est égale à sa longueur pour la métrique de Finsler . En particulier elle ne dépend pas du champ [2].

La courbe est aussi une géodésique pour la métrique riemannienne .

Définition[modifier | modifier le code]

La courbure drapeau d'une variété finslérienne est une fonction dépendant d'un point , d'un plan vectoriel et d'un vecteur non nul du plan . C'est la courbure sectionnelle d'une métrique riemannienne de la forme , où est la géodésique partant de à vitesse initiale .

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Bao, D. ; Chern, S.-S. ; Shen, Z. An introduction to Riemann-Finsler geometry. Graduate Texts in Mathematics, 200. Springer-Verlag, New York, 2000. xx+431 pp. (ISBN 0-387-98948-X)
  • (en) Busemann, Herbert. The synthetic approach to Finsler spaces in the large. Geometry of the calculus of variations (Italian), 1--72, C.I.M.E. Summer Sch., 23, Springer, Heidelberg, 2011.
  • (en) Busemann, Herbert, On normal coordinates in Finsler spaces. Math. Ann. 129, (1955). 417--423.
  • (en) Busemann, Herbert . On geodesic curvature in two-dimensional Finsler spaces. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 31, (1950). 281--295.
  • (en) Busemann, Herbert. The geometry of Finsler spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 56, (1950). 5--16.
  • (en) Busemann, Herbert. Metric Methods in Finsler Spaces and in the Foundations of Geometry. Annals of Mathematics Studies, no. 8. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1942. {\rm viii}+243 pp.
  • (en) Busemann, Herbert. Metric conditions for symmetric Finsler spaces. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 27, (1941). 533--535.
  • (en) Cartan, Elie. Les espaces de Finsler. Hermann, 1934.
  • (en) Finsler, Paul. Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen. (German) Verlag Birkhäuser, Basel, 1951. {\rm x}+160 pp.
  • (en) Shen, Zhongmin . Differential geometry of spray and Finsler spaces. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2001. xiii+258 pp. (ISBN 0-7923-6868-1)
  • (en) Shen, Zhongmin . Lectures on Finsler geometry. World Scientific Publishing Co., Singapore, 2001. xiv+307 pp. (ISBN 981-02-4531-9)


Liens externes[modifier | modifier le code]

  1. « Images des mathématiques - Géométrie de Hilbert », sur Images des mathématiques, (consulté le 22 mai 2019)
  2. (en) Bao, D.; Chern S.-S.; Shen Z., An introduction to Riemann-Finsler geometry, New York, Springre-Verlag, , 431 p. (ISBN 0-387-98948-X)