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Application vide

Pour tout ensemble A, il existe une unique application de ∅ vers A. Cette application, couramment notée ∅_A, est l'aplication vide vers A.

Définitions

Définition naturelle

L'application vide vers un ensemble A, notée ∅_A, peut être définie naturellement comme :
∅_A : ∅ $\to A$

Définitions alternatives

Définition par la définition formelle d'une fonction totale

∅_A est alors définie comme le triplet (∅, A, ∅), conformément à la définition formelle d'une fonction.

Définition par les graphes

On peut définir ∅_A comme l'application vers A de graphe vide.

Définition par les n-uplet

∅_A peut aussi être vue comme le 0-uplet d'éléments de l'ensemble A vers lequel elle va.

Démonstration des équivalences

1. ∅_A : ∅ $\to A$ est, selon la définition formelle d'une fonction, le triplet (∅, A, G), avec G ⊆ ∅×A. Comme l'ensemble vide est absorbant pour le produit cartésien [cela donne en fait l'ensemble des couples (x,y), où x∈∅, qui est donc vide, puisque x n'existe pas], on a : ∅×A = ∅. Soit : : G ⊆ ∅×A ⇔ G ⊆ ∅ ⇔ G = ∅.
Donc, ∅_A : ∅ $\to A$ est le triplet (∅, A, ∅).

2. Les fonctions totales d'un ensemble E vers un ensemble A étant définies comme : (E, A, G), avec G ⊆ E×A, où tout élément de E peut être associé à un élément de G, la/les fonction(s) (totales) de graphe vide vers A sont de la forme (E, A, ∅), où tout élément de E peut être associé à un élément de ∅.
Or, ∀x(x∉∅) ⇒ on ne peut associer aucun élément à un élément de ∅. Donc, E = ∅, ce qui nous donne que l'application vers A de graphe vide est (∅, A, ∅), c'est-à-dire ∅_A. [On notera que "l'application" vers A de graphe vide est unique, car E ne peut être que ∅.]
Réciproquement, comme ∅_A peut être définie comme (∅, A, ∅), son graphe est vide.

3. Comme son ensemble de définition, ∅, est fini, on peut voir ∅_A comme un n-uplet d'éléments de A, avec n = card E, avec E l'ensemble de définition de ∅_A. Comme E = ∅, ∅_A est donc le card∅-uplet d'éléments de A, c'est-à-dire le 0-uplet d'éléments de A.
Réciproquement, le 0-uplet d'éléments de A peut être interprété comme l'application d'un ensemble de cardinal 0 vers A. Comme ∅ est le seul élément de cardinal 0, il s'agit alors de l'application f, telle que f : ∅ $\to A$, ce qui est une définition de ∅_A.

Lien avec les matrices vides

Soit K un corps. L'unique élément de K⁰ est le 0-uplet d'éléments de K, soit ∅_A. On a donc : K⁰ = {∅_K}

dérivabilité

Sur ∅, la dérivée ne peut être définie car ∅ est toujours discret. Donc, quel que soit A un ensemble, ∅_A ne peut être dérivée.