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Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ une fonction intégrable sur $\mathbb {R}$ uniformément continue. Alors ${\underset {x\dashv \pm \infty }{\lim }}f(x)=0$.

Démonstration

Supposons par l'absurde que $f$ ne converge pas vers $0$ en $+\infty$. Alors :

$\exists \varepsilon >0,\forall A>0,\exists x>A,|f(x)|>\varepsilon$

En outre, par uniforme continuité de $f$:

$\exists \delta >0,\forall x,y\in \mathbb {R} ,|x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<{\frac {\varepsilon }{2}}$

Enfin, puisque $f$ est intégrable sur $\mathbb {R}$ : $\int _{x}^{\infty }|f(t)|\mathrm {d} t{\underset {x\dashv +\infty }{\longrightarrow }}0$

$\exists A>0,\int _{A}^{\infty }|f(t)|<{\frac {\varepsilon \delta }{2}}$

Cependant, il existe $x>A$ tel que $|f(x)|>\varepsilon$ et donc :

$\int _{A}^{+\infty }|f(t)|\mathrm {d} t\geqslant \int _{x}^{x+\delta }|f(t)|\mathrm {d} t\geqslant \int _{x}^{x+\delta }{\frac {\varepsilon }{2}}\mathrm {d} t={\frac {\varepsilon \delta }{2}}$

Ce qui nous donne la contradiction attendue. On montre alors que ${\underset {x\dashv -\infty }{\lim }}f(x)=0$ en considérant $g=f(-\cdot )$.