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Cet article montre les formules qui sont appliquées pour calculer les pentes et les déformations des poutres, c'est-à-dire la flèche maximale et la rotation dans le support pour certains cas particuliers de poutres soumises à des charges.

Poutres avec supports simples (bi-appuyées)[modifier | modifier le code]

Dans les formules suivantes, E désigne le module d'Young du matériau dans lequel la poutre est construite, et I le moment quadratique de la section transversale de la poutre et L la longueur de la poutre.

Type de charge

Rotation

Flèche

Équation de la déformée

Poutre bi-appuyée avec une charge ponctuelle P située à mi-longueur

\theta \ _{1}=-\theta \ _{2}=-{\frac {PL^{2}}{16EI}}

y_{\max }={\frac {-PL^{3}}{48EI}}

pour

x={\frac {L}{2}}

y=-{\frac {PxL^{2}}{16EI}}\left(1-{\frac {4}{3}}{\frac {x^{2}}{L^{2}}}\right)\quad x<{\frac {L}{2}}

Poutre bi-appuyée avec une charge ponctuelle P en un point quelconque

\theta \ _{1}=-{\frac {Pab\left(L+b\right)}{6EIL}}

y_{\max }=-{\frac {P}{9EI}}{\frac {b}{{\sqrt {3}}L}}(L^{2}-b^{2})^{\frac {3}{2}}

pour $x={\sqrt {\frac {L^{2}-b^{2}}{3}}}$

y=-{\frac {PLbx}{6EI}}\left(1-{\frac {b^{2}+x^{2}}{L^{2}}}\right)\quad x<a

Poutre bi-appuyée sous une charge linéique uniforme de densité q

\theta _{\max }=-{\frac {qL^{3}}{24EI}}

y_{\max }=-{\frac {-5qL^{4}}{384EI}}

y(x)=-{\frac {qx}{24EI}}\left(x^{3}-2Lx^{2}+L^{3}\right)

Viga con momento aplicado al inicio

Archivo:Beam_M_start.png

\theta \ _{1}={\frac {M_{0}L}{3EI}}

$\theta _{2}=-{\frac {M_{0}L}{6EI}}$

y_{\max }={\frac {M_{0}L^{2}}{9{\sqrt {3}}EI}}

para $x=L\left(1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)$

y={\frac {M_{0}L}{6EI}}(L-x)\left(1-{\frac {(L-x)^{2}}{L^{2}}}\right)

Vigas en voladizo (ménsulas empotradas)[modifier | modifier le code]

Tipo de carga

Pendiente

Deformación

Curva elástica

Ménsula con carga concentrada al extremo

Archivo:Beam_Cantilevered_Load_end.png

\theta \ _{\max }={\frac {-PL^{2}}{2EI}}

y_{\max }={\frac {-PL^{3}}{3EI}}

y={\frac {-Px^{2}}{6EI}}\left(3L-x\right)

Ménsula con carga concentrada en un punto intermedio
(a una distancia

a

del extremo empotrado)

\theta \ _{\max }={\frac {-Pa^{2}}{2EI}}

y_{\max }=-Pa^{2}{\frac {(3L-a)}{6EI}}

cuando

x<a

:

y={\frac {-Px^{2}}{6EI}}\left(3a-x\right)

cuando

x>a

:

y={\frac {-Pa^{2}}{6EI}}\left(3x-a\right)

Ménsula con carga distribuida constante sobre toda su longitud

Archivo:Beam_Cantilevered_w_all.png

\theta \ _{\max }={\frac {-wL^{3}}{6EI}}

y_{\max }={\frac {-wL^{4}}{8EI}}

y={\frac {-wx^{2}}{24EI}}\left(x^{2}-4Lx+6L^{2}\right)

Ménsula con carga distribuida constante sobre parte de su longitud

Archivo:Beam_Cantilevered_w_part.svg

\theta \ _{\max }={\frac {-w}{6EI}}\left(a^{3}-15c^{3}+3ac(a+c)\right)

$y_{\max }={\frac {-wca^{2}}{3EI}}\left(L(3+{\frac {c^{2}}{a^{2}}})-a(1+{\frac {c^{2}}{a^{2}}})\right)$

Ménsula con un momento puntal M₀ en el extremo

\theta \ _{\max }=-{\frac {M_{0}L}{EI}}

y_{\max }=-{\frac {M_{0}L^{2}}{2EI}}

y(x)=-{\frac {-M_{0}x^{2}}{2EI}}

Ménsula con un momento puntal M₀ en el vano

250px|center

\theta \ _{\max }=-{\frac {M_{0}a}{EI}}

y_{\max }=-{\frac {M_{0}a^{2}}{2EI}}-{\frac {M_{0}ab}{EI}}

y(x)={\begin{cases}-{\cfrac {-M_{0}x^{2}}{2EI}}&x\leq a\\-{\cfrac {M_{0}a^{2}}{2EI}}-{\cfrac {M_{0}a(x-a)}{EI}}&a\leq x\leq L\end{cases}}

Vigas biempotradas[modifier | modifier le code]

Las vigas biempotradas son casos de vigas hiperestáticas que requieren la determinación de los momentos de empotramiento, antes de poder calcular directamente las pendientes y los desplazamientos sobre las mismas.

Tipo de carga

Reacciones

Pendiente, desplazamiento máximo y curva elástica

Biempotrada con carga uniforme
en una porción simétricamente distribuida

250px|center