Le lemme de Schwarz est un lemme d'analyse complexe.
Soit
une fonction holomorphe dans le disque ouvert D de centre 0 et de rayon 1, et telle que :
![{\displaystyle f(0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d308c32c9894b88115262081194321ae7d9bbf3)
.
Alors on a :
pour tout
appartenant à D et
.Si, de plus, il existe un élément non nul
de D vérifiant
, ou bien si
, alors il existe un nombre complexe
de module 1 tel que
pour tout
appartenant à
.
La preuve[1] est une application directe du principe du maximum.
Démonstration
Appliquons le principe du maximum à la fonction
![{\displaystyle g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}}&{\mbox{si }}z\neq 0\\f'(0)&{\mbox{si }}z=0,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17319ac63d3c84c94f9eac09252f14c8d2beb89)
holomorphe sur D (l'holomorphie en 0 provient du fait que f(0) = 0 et du fait que f est développable en série entière). Pour tout r < 1, si Dr = {z : |z| ≤ r} désigne le disque fermé de rayon r > 0 centré en l'origine, la fonction |g| sur Dr atteint son maximum en un point du bord de Dr. Étant donné z appartenant à D, il existe donc, pour tout r ∈ ]|z|, 1[, un complexe zr de module r tel que
.
Lorsque
, on obtient
.
Supposons maintenant que |f(z0)| = |z0| pour z0 non nul dans D, ou supposons que |f′(0)| = 1. Alors, |g(z0)| = 1 ou |g(0)| = 1 par définition de g. Ainsi, par le principe du maximum, g(z) est égale à une constante a
avec |a| = 1. Finalement, f(z) = az, comme voulu.
Une variante du lemme de Schwarz est le lemme de Schwarz-Pick[2], nommé en l'honneur de Georg Pick, permettant de déterminer les automorphismes analytiques du disque unité[3] :
Soit f : D → D une fonction holomorphe. Alors, pour tout z1, z2 ∈ D,
![{\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ebba2abaa77e7c9ec326b308a5d2dd6cac712be)
et, pour tout z ∈ D,
.
Démonstration
La preuve du lemme de Schwarz-Pick est une conséquence du lemme de Schwarz et du fait qu'une transformation de Möbius de la forme
![{\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z_{0}}}z-1}},\qquad |z_{0}|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de46070dfc3fae7d6a64d37e37f5f3b4811b8028)
envoie le cercle unité dans lui-même. Fixons z1 et posons
![{\displaystyle M(z)={\frac {z_{1}-z}{1-{\overline {z_{1}}}z}},\qquad \varphi (z)={\frac {f(z_{1})-z}{1-{\overline {f(z_{1})}}z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f292bd4f4af11b70bc386e75e732654fed8758)
où M et φ sont des transformations de Möbius. Puisque M(z1) = 0 et que la transformation de Möbius est inversible, la composée φ(f(M−1(z))) envoie 0 sur 0 et le disque unité dans lui-même. Ainsi, on peut appliquer le lemme de Schwarz, ce qui nous donne
.
Maintenant, en posant z2 = M−1(z) (qui appartient au disque unité), on arrive à l'inégalité voulue :
.
Afin de prouver la seconde partie, divisons par |z1 – z2| l'inégalité obtenue
.
En faisant tendre z2 vers z1, on obtient la seconde inégalité du lemme.
L'expression
![{\displaystyle d(z_{1},z_{2})=\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a66f51ab60014ec792f8c570d9e25216e1bae0)
est une distance au sens de la métrique de Poincaré. Le lemme de Schwarz-Pick nous donne que toute fonction holomorphe du disque unité dans lui-même réduit la distance entre deux points au sens de la métrique de Poincaré. Si l'égalité au lieu dans l'une des deux inégalités du lemme (ce qui est équivalent à dire que l'application holomorphe f préserve la distance dans la métrique de Poincaré), alors f est un automorphisme analytique, donné par une transformation de Möbius envoyant le disque unité vers lui-même.
Un énoncé équivalent sur le demi-plan de Poincaré H peut être fait :
Soit f : H → H une fonction holomorphe. Alors, pour tout, z1, z2 ∈ H,
.
C'est une conséquence directe du lemme de Schwarz-Pick : en utilisant le fait qu'une transformation de Cayley W(z) = (z − i)/(z + i) est une application conforme envoyant le demi-plan supérieur H vers le disque unité D, on obtient que l'application W ∘ f ∘ W−1 est holomorphe et envoie D sur D. En appliquant le lemme de Schwarz-Pick à la fonction W ∘ f ∘ W−1 et en utilisant l'expression explicite de W, on arrive au résultat voulu. De même, pour tout z ∈ H,
.
Si l'égalité a lieu pour l'une de deux inégalités précédentes, alors f est une transformation de Möbius à coefficients réels, c'est-à-dire
![{\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1c54bc9fa6c6e6c9a0bf18de3e62b22fc8e08d)
avec a, b, c, d ∈ R, et ad − bc > 0.