Utilisateur:Observateur01/Brouillon5

Les transformations du groupe de Lorentz sont des changements linéaires de coordonnées qui transforment le quadrivecteur $x^{\mu }$ en ${\bar {x}}^{\mu }$ :

${\bar {x}}^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }$

Ces transformations préservent l'intervalle d'espace-temps $\Delta s^{2}$ entre deux évènements et sont donc compatibles avec les principes de la relativité restreinte. Mathématiquement, les matrices ${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }$ satisfont la condition :

$g_{\mu \nu }{\Lambda ^{\mu }}_{\rho }{\Lambda ^{\nu }}_{\sigma }=g_{\rho \sigma }$

où $g_{\mu \nu }$ est la métrique de Minkowski. Chaque transformation possède un inverse et le produit de deux transformations de Lorentz est aussi une transformation de Lorentz. Les transformations qui préservent l'orientation de l'espace sont dites propres, et correspondent aux matrices $\Lambda$ de déterminant positif  :

det $\Lambda =+1$

au contraire, les transformations telles que det $\Lambda =-1$ sont dites impropres. De même, les transformations qui préservent l'orientation du temps sont dites orthochrones et satisfont :

${\Lambda ^{0}}_{0}\geq +1$

Le groupe de Lorentz restreint se limite aux transformations à la fois propres et orthochrones. Le groupe de Lorentz complet s'obtient à partir du groupe de Lorentz restreint en introduisant les opérateurs discrets de parité et renversement du temps.

Quelques propriétés

• Le groupe de Lorentz restreint est un groupe de Lie à 6 paramètres (3 paramètres pour les rotations et 3 pour les boosts). Toute transformation $\Lambda$ se décompose de manière unique comme le produit d'un boost $L$ et d'une rotation spatiale $R$ :

$\Lambda =L\cdot R$

• La composition de deux rotations spatiales donne une rotation spatiale. L'ensemble des rotations spatiales forme un sous-groupe isomorphe au groupe des rotations $\operatorname {SO} (3)$.
• La composition de deux boosts de directions différentes ne donne pas un autre boost, mais est équivalent au produit d'un boost et d'une rotation (on parle de rotation de Thomas, ou rotation de Wigner). Par conséquent, l'ensemble des boosts ne forme pas un sous-groupe.
• La composition de deux boosts de même direction donne un autre boost (dans ce cas, les rapidités des deux boosts s'additionnent, et non leurs vitesses). L'ensemble des boosts de même direction forme un sous-groupe à un paramètre.

Lien avec le groupe $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$

Le groupe spécial linéaire $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ est le groupe de revêtement universel du groupe de Lorentz restreint $\operatorname {SO} _{0}(1,3)$. Par conséquent, toute transformation de Lorentz restreinte peut être réécrite de manière condensée sous forme d'une matrice 2 × 2 complexe.

Ces matrices agissent sur l'espace de Minkowski en identifiant chaque évènement $(t,x,y,z)$ par une matrice hermitienne 2 × 2. En prenant pour base les matrices de Pauli :

$X={\begin{bmatrix}ct+z&x-iy\\x+iy&ct-z\end{bmatrix}}=ct1\!\!1+x\sigma _{x}+y\sigma _{y}+z\sigma _{z},$

Avec cette notation, le calcul du déterminant fait apparaître la forme quadratique invariante correspondant à la pseudo-norme relativiste :

$\det \,X=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2},$

La matrice de $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ associée à une transformation de Lorentz donnée agit sur cet évènement via :

$X\mapsto PXP^{*}~.$

où $P^{*}$ est la matrice adjointe de $P$. Cette transformation préserve bien la valeur du déterminant, et donc la structure de l'espace de Minkowski.

L'opération qui à toute matrice de $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ associe une transformation de Lorentz est appelée application spineur ou morphisme spinoriel. L'intérêt de cette relation vient du fait que certaines propriétés de $\operatorname {SO} _{0}(1,3)$ peuvent être déduites de l'étude des propriétés bien connues de $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$. En particulier leurs algèbres de Lie sont similaires, ce qui facilite l'étude des représentations du groupe de Lorentz.

Quelques exemples de matrices de $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ et leur image dans $\operatorname {SO} _{0}(1,3)$

	Rotation spatiale	Transf. de Lorentz spéciale	Quadrivis	Rotation lumière
$\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$	${\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&-i\sin {\frac {\theta }{2}}\\-i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}\cosh {\frac {\psi }{2}}&\sinh {\frac {\psi }{2}}\\\sinh {\frac {\psi }{2}}&\cosh {\frac {\psi }{2}}\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}\cosh {\frac {\psi -i\theta }{2}}&\sinh {\frac {\psi -i\theta }{2}}\\\sinh {\frac {\psi -i\theta }{2}}&\cosh {\frac {\psi -i\theta }{2}}\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}1+i\alpha &-i\alpha \\i\alpha &1-i\alpha \end{pmatrix}}$
$\operatorname {SO} _{0}(1,3)$	$\scriptstyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$	$\scriptstyle {\begin{pmatrix}\cosh \psi &\sinh \psi &0&0\\\sinh \psi &\cosh \psi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$	$\scriptstyle {\begin{pmatrix}\cosh \psi &\sinh \psi &0&0\\\sinh \psi &\cosh \psi &0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$	$\scriptstyle {\begin{pmatrix}1+2\alpha ^{2}&-2\alpha ^{2}&2\alpha &0\\2\alpha ^{2}&1-2\alpha ^{2}&2\alpha &0\\2\alpha &-2\alpha &1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Note : L'application spineur est surjective. À toute transformation de Lorentz restreinte correspond une matrice de $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ et son opposée (on parle de revêtement à deux feuillets).

Exemples :

• Rotation spatiale : ${\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&-i\sin {\frac {\theta }{2}}\\-i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}$
• Transformation de Lorentz spéciale : ${\begin{pmatrix}\cosh {\frac {\psi }{2}}&\sinh {\frac {\psi }{2}}\\\sinh {\frac {\psi }{2}}&\cosh {\frac {\psi }{2}}\end{pmatrix}}$
• Quadrivis : ${\begin{pmatrix}\cosh {\frac {\psi -i\theta }{2}}&\sinh {\frac {\psi -i\theta }{2}}\\\sinh {\frac {\psi -i\theta }{2}}&\cosh {\frac {\psi -i\theta }{2}}\end{pmatrix}}$
• Rotation lumière : ${\begin{pmatrix}1+i\alpha &-i\alpha \\i\alpha &1-i\alpha \end{pmatrix}}$

Généralisation en dimension supérieure

Le concept du groupe de Lorentz se généralise naturellement à un espace-temps doté d'un nombre quelconque de dimensions. Mathématiquement, le groupe de Lorentz d'un espace de Minkowski à $n+1$ dimensions est le groupe $\operatorname {O} (1,n)$ (ou $\operatorname {O} (n,1)$) des transformations linéaires de $\mathbb {R} ^{n+1}$ qui préservent la forme quadratique :

$(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n})\mapsto (x_{0})^{2}-(x_{1})^{2}-\cdots -(x_{n})^{2}$

La plupart des propriétés du groupe de Lorentz à quatre dimensions (n = 3) se généralisent pour des valeurs de n arbitraires. Les cas n = 1 et n = 2 servent surtout de modèles d'étude simplifiés du cas physique n = 3. Les cas de plus grande dimension sont utilisés dans des théories physiques qui postulent l'existence de dimensions cachées, comme la théorie des cordes, et dans certains modèles cosmologiques tels que l'univers de de Sitter.

• Transformations elliptiques : Cette classe inclut les rotations du système de coordonnées suivant un axe passant par l'origine.

Exemple : Rotation d'angle $\theta$ autour de l'axe $x$.

$\Lambda ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

• Transformations hyperboliques : Cette classe inclut les transformations spéciales de Lorentz.

Exemple : Boost de vitesse $v$ selon l'axe $x$, correspondant à une rotation hyperbolique de rapidité $\psi =$argtanh$(v/c)$.

$\Lambda ={\begin{pmatrix}\cosh \psi &\sinh \psi &0&0\\\sinh \psi &\cosh \psi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

• Transformations loxodromiques (ou 4-vis) : Inclut des transformations combinant rotations et transformations spéciales de Lorentz, caractérisées par un angle et une rapidité.

Exemple : Quadrivis combinant une rotation spatiale d'angle $\theta$ autour de l'axe $x$ et une rotation hyperbolique de rapidité $\psi =$argtanh$(v/c)$ selon l'axe $x$.

$\Lambda ={\begin{pmatrix}\cosh \psi &\sinh \psi &0&0\\\sinh \psi &\cosh \psi &0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

• Transformations paraboliques (ou rotations lumière) : Inclut des transformations laissant invariant un plan de l'espace de Minkowski tangent au cône de lumière.

Exemple : Rotation lumière de paramètre réel $\alpha$ (à noter qu'un photon de quadri-moment $\mathbf {P} =(p,p,0,0)$ se propageant dans la direction de l'axe des $x$ n'est pas affecté par la transformation, et que cette direction invariante est unique pour chaque rotation lumière).

$\Lambda ={\begin{pmatrix}1+2\alpha ^{2}&-2\alpha ^{2}&2\alpha &0\\2\alpha ^{2}&1-2\alpha ^{2}&2\alpha &0\\2\alpha &-2\alpha &1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Note : Toute transformation du groupe de Lorentz restreint est nécessairement une quadrivis ou une rotation lumière. Les autres types de transformations peuvent être vus comme des cas limites de ces dernières.

Représentations du groupe de Lorentz

Les transformations du groupe de Lorentz sont représentées par des matrices 4 × 4 agissant sur des quadrivecteurs. On peut cependant souhaiter appliquer ces transformations à des objets de nature différente, tels que des scalaires (masse, temps propre, intervalle d'espace-temps...), des tenseurs (champ électromagnétique) ou encore des spineurs. On devra alors utiliser une représentation du groupe de Lorentz adaptée.

Ainsi, pour un objet $F$ quelconque (rapporté à un vecteur de dimension $n$), les changements de coordonnées s'écrivent :

$F'=\Pi (\Lambda )F$

où $\Pi$ est une représentation du groupe qui décrit les transformations $\Lambda$ sous forme de matrices $n\times n$. La quantité $F$ est dite covariante.

Exemples :

• Prenons une quantité scalaire telle que la masse propre d'un corps. Cette quantité étant invariante par changement de référentiel, la représentation associée est la représentation triviale (autrement dit $\Pi (\Lambda )\equiv 1$).

• La transformation du champ électromagnétique nécessite aussi d'utiliser une représentation adaptée du groupe de Lorentz. En relativité restreinte, les champs électrique et magnétique ne peuvent en effet être considérés comme deux objets physiques séparés. Il n'est pas possible d'appliquer de manière naïve les transformations de Lorentz au champ électrique puis au champ magnétique de manière indépendante : le champ électromagnétique doit être vu comme un unique tenseur doté de six composantes indépendantes. Le groupe de Lorentz peut ainsi être représenté par des matrices $6\times 6$ agissant sur un vecteur champ à 6 dimensions :

$F'={\begin{bmatrix}{E'}_{}^{1}\\{E'}_{}^{2}\\{E'}_{}^{3}\\{B'}_{}^{1}\\{B'}_{}^{2}\\{B'}_{}^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Pi (\Lambda )_{0}^{0}&\Pi (\Lambda )_{1}^{0}&\Pi (\Lambda )_{2}^{0}&\Pi (\Lambda )_{3}^{0}&\Pi (\Lambda )_{4}^{0}&\Pi (\Lambda )_{5}^{0}\\\Pi (\Lambda )_{0}^{1}&\Pi (\Lambda )_{1}^{1}&\Pi (\Lambda )_{2}^{1}&\Pi (\Lambda )_{3}^{1}&\Pi (\Lambda )_{4}^{1}&\Pi (\Lambda )_{5}^{1}\\\Pi (\Lambda )_{0}^{2}&\Pi (\Lambda )_{1}^{2}&\Pi (\Lambda )_{2}^{2}&\Pi (\Lambda )_{3}^{2}&\Pi (\Lambda )_{4}^{2}&\Pi (\Lambda )_{5}^{2}\\\Pi (\Lambda )_{0}^{3}&\Pi (\Lambda )_{1}^{3}&\Pi (\Lambda )_{2}^{3}&\Pi (\Lambda )_{3}^{3}&\Pi (\Lambda )_{4}^{3}&\Pi (\Lambda )_{5}^{3}\\\Pi (\Lambda )_{0}^{4}&\Pi (\Lambda )_{1}^{4}&\Pi (\Lambda )_{2}^{4}&\Pi (\Lambda )_{3}^{4}&\Pi (\Lambda )_{4}^{4}&\Pi (\Lambda )_{5}^{4}\\\Pi (\Lambda )_{0}^{5}&\Pi (\Lambda )_{1}^{5}&\Pi (\Lambda )_{2}^{5}&\Pi (\Lambda )_{3}^{5}&\Pi (\Lambda )_{4}^{5}&\Pi (\Lambda )_{5}^{5}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{E}_{}^{1}\\{E}_{}^{2}\\{E}_{}^{3}\\{B}_{}^{1}\\{B}_{}^{2}\\{B}_{}^{3}\end{bmatrix}}$

Note : En pratique, le champ électromagnétique est généralement plutôt exprimé sous forme tensorielle, avec : $F^{\mu '\nu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }.$

• Les bispineurs intervenant dans l'équation de Dirac sont des vecteurs de nombres complexes à 4 composantes. Les matrices $4\times 4$ originelles du groupe de Lorentz sont cependant inappropriées, même en se restreignant aux rotations. Une représentation spinorielle $4\times 4$ des transformations de Lorentz est donc nécessaire.