Quadri-moment

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En relativité restreinte, le quadri-moment[1] (ou quadrivecteur impulsion[1] ou quadri-impulsion[2] ou quadrivecteur impulsion-énergie[3] ou quadrivecteur énergie-impulsion[4]) est une généralisation du moment linéaire tridimensionnel de la physique classique sous la forme d'un quadrivecteur de l'espace de Minkowski, espace-temps à 4 dimensions de la relativité restreinte.

Le quadri-moment d'une particule combine le moment tridimensionnel \vec p = (p_x, p_y, p_z) et d'énergie E :


\begin{pmatrix}
p^0 \\ p^1 \\ p^2 \\ p^3 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
E/c \\ p_x \\ p_y \\ p_z 
\end{pmatrix}

Comme tout quadrivecteur, il est covariant, c'est-à-dire que les changements de ses coordonnées lors d'un changement de référentiel inertiel se calculent à l'aide des transformations de Lorentz.

Dans une base donnée de l'espace-temps de Minkowski, ses coordonnées sont notées \ \left( p^0 ; p^1 ; p^2 ; p^3 \right), dans la base covariante associée, ses coordonnées sont notées \ \left( p_0 ; p_1 ; p_2 ; p_3 \right) et sont égales à \ p_i = \eta_{ij}.p^j

Relation avec la quadrivitesse[modifier | modifier le code]

Pour une particule dotée de masse non nulle mais ayant une charge électrique nulle, le quadri-moment est donné par le produit de la masse au repos \ m et de la quadrivitesse \ u.

En coordonnées contravariantes, on a \ u = \left( u^0,u^1,u^2,u^3 \right)= \left( \gamma.c , \gamma v_x , \gamma v_y , \gamma v_z \right), où \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} est le facteur de Lorentz et c est la vitesse de la lumière :

p^\mu = m \, u^\mu\!

Norme de Minkowski: p2[modifier | modifier le code]

En calculant la norme de Minkowski d'un quadri-moment, on obtient un invariant de Lorentz égal (à un facteur égal à la vitesse de la lumière c près) au carré de la masse au repos de la particule:

\ |p|^2 = \eta_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = {E^2 \over c^2} - |\vec p|^2 = m^2. |u|^2 = m^2.c^2

en utilisant la métrique de Minkowski:

\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}

Le tenseur métrique est en fait défini à un signe près. On trouvera dans certains ouvrages la convention \eta_{\mu\nu}=(-,+,+,+) au lieu de la convention \eta_{\mu\nu}=(+,-,-,-) adoptée dans cet article[5]. Les résultats physiques sont évidemment les mêmes quelle que soit la convention choisie, mais il faut prendre garde de ne pas les mélanger. Puisque |p|^2\! est un invariant de Lorentz, sa valeur reste inchangée par transformations de Lorentz, c'est-à-dire par changement de référentiel.

Conservation du quadri-moment[modifier | modifier le code]

La conservation du quadri-moment dans un référentiel donné[6] implique deux lois de conservations pour des quantité dites classiques:

  1. La quantité totale d'énergie \ E = c. p^0 est invariante.
  2. Le moment linéaire classique tridimensionnel \vec p reste invariant.

On notera au passage que la masse d'un système de particules peut être supérieure à la somme des masses des particules au repos, à cause de l'énergie cinétique. Par exemple, prenons 2 particules de quadri-moment {5 Gev, 4 Gev/c, 0, 0} et {5 Gev, -4 Gev/c, 0, 0} : elles ont chacune une masse au repos de 3 Gev/c2 mais leur masse totale (soit encore la masse du système) est de 10 Gev/c2. Si ces 2 particules entrent en collision et fusionnent, la masse de l'objet ainsi formé est de 10 Gev/c2.

Une applicaton pratique en physique des particules de la conservation de la masse au repos permet, à partir des quadri-moments pA et pB de 2 particules créées par la désintégration d'une particule plus grosse ayant un quadri-moment q, de retrouver la masse de la particule initiale. La conservation du quadrimoment donne qμ = pAμ + pBμ, et la masse M de la particule initiale est donnée par |q|2 = M2c2. En mesurant l'énergie et les 3-moments des particules résultantes, on peut calculer la masse au repos du système des 2 particules qui est égal à M. Cette technique est notamment utilisée dans les recherches expérimentales sur le boson Z dans les accélérateur de particules.

Si la masse d'un objet ne change pas, le produit scalaire de Minkowski de son quadri-moment et de la quadri-accélération correspondante Aμ est nul. L'accélération est proportionnelle à la dérivée temporelle du moment divisée par la masse de la particule:

p_{\mu} A^{\mu} = p_{\mu} \frac{d}{dt} \frac{\eta^{\mu\nu} p_{\nu}}{m} = \frac{1}{2m} \frac{d}{dt} |p|^2 = \frac{1}{2m} \frac{d}{dt} (m^2c^2) = 0 .

Moment canonique en présence d'un champ électromagnétique[modifier | modifier le code]

Il est également utile de définir un moment "canonique" (à 4 dimensions), pour des applications en mécanique quantique relativiste: P^\mu , qui est la somme du quadri-moment et du produit de la charge électrique avec le potentiel (qui est un vecteur à 4 dimensions):

 P^{\mu} = p^{\mu} + q A^{\mu} \!

où le 4-vecteur potentiel est une combinaison entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur du champ magnétique:


\begin{pmatrix}
A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\phi/c \\ A_x \\ A_y \\ A_z 
\end{pmatrix}

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. a et b Relativité générale et gravitation de Edgard Elbaz, (ellipse 1986), chapitre IV, §4
  2. Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 2 : Théorie des champs [détail des éditions], §9
  3. Ch. Grossetête, Relativité restreinte et structure atomique de la matière, Paris, Ellipses,‎ , 320 p. (ISBN 2729885544), p. 61
  4. Introduction à la relativité de James H. Smith, InterEditions (1968), (2e édition en 1979 (ISBN 2-7296-0088-4) rééditée par Masson : Dunod - 3e édition - 1997 (ISBN 2-225-82985-3)), chapitre 12
  5. La convention de signe \eta_{\mu\nu}=(+,-,-,-) est présente dans Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 2 : Théorie des champs [détail des éditions], par exemple.
  6. La conservation du quadri-moment signifie que dans un référentiel donné, le quadri-moment total p^\nu d'un système isolé est conservé. Lorsqu'on change de référentiel, le quadri-moment subit une transformation de Lorentz : p'~^\mu={\Lambda^\mu}_\nu p^\nu. Le nouveau quadri-moment p'~^\mu est à son tour conservé dans ce nouveau référentiel, mais n'est pas égal à p^\nu.

Références[modifier | modifier le code]