Utilisateur:Melio the Math guy/Brouillontest

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L'apprentissage PAC (pour probably approximately correct en anglais) est un cadre théorique pour l'apprentissage automatique. Il permet notamment d'évaluer la difficulté d'un problème dans le contexte de l'apprentissage supervisé. Il a été proposé par Leslie Valiant en 1984.

Principe[modifier | modifier le code]

Dans le cadre de l'apprentissage PAC, l'algorithme «apprenant» reçoit des données d'apprentissage («samples») et doit choisir une fonction qui généralise ces données. Cette fonction est choisie parmi un ensemble préétabli. Elle est appelée «hypothèse». Le but est que la fonction en question classifie de nouvelles données inconnues (distribuées identiquement aux données d'apprentissage) avec une erreur minimale, et ceci avec forte probabilité.

Cadre formel[modifier | modifier le code]

Le cadre le plus simple est le suivant^[1].

On considère un ensemble d'échantillons, c'est-à-dire de points d'un espace X, étiquetés par «-1» ou «1». On dispose d'une loi de probabilité D sur X. On dispose aussi d'un ensemble d'hypothèses, c'est-à-dire d'un espace H, de fonctions de X vers {-1,1}. L'une d'elles est appelée le «concept» c : c'est la fonction inconnue que l'on veut apprendre.

L'erreur d'une hypothèse h par rapport au concept c sur D est : $erreur(h)=Pr_{x\in D}[c(x)\neq h(x)]$ .

On dit que H est PAC apprenable s'il existe un algorithme L tel que :

pour tout concept c de H ;
pour toute loi D sur X ;
pour tout paramètre d'erreur $0<\epsilon <1/2$ ;
pour tout paramètre de confiance $0<\delta <1/2$ ;

L fournit une hypothèse qui vérifie avec une probabilité $(1-\delta )$ , $erreur(h)\leq \epsilon$ .

L est efficace si sa complexité en temps est polynomiale en $1/\delta$ et $1/\epsilon$ .

Contexte et historique[modifier | modifier le code]

L'apprentissage PAC a été proposé en 1984 par Leslie Valiant^[2]. Ce cadre formel a permis de rapprocher la théorie de la complexité de l'apprentissage, et a donné naissance à ce que l'on appelle la computational learning theory^[3].

Ce modèle a été critiqué, notamment à cause du choix de l'analyse dans le pire cas et de l'hypothèse que les données ne sont pas bruitées. D'autres modèles plus complexes ont alors été proposés^[3].

Apprentissage PAC-Bayésien[modifier | modifier le code]

Principe théorique[modifier | modifier le code]

L'apprentissage PAC-Bayésien s'inspire de l'inférence bayésienne dans un cadre PAC. Plus précisément, le PAC-Bayésien étudie la capacité prédictive d'une mesure a posteriori $Q$ sur l'espace des predicteurs $H$ par rapport à une mesure de référence a priori $P$ et au jeu de données disponible. Ces terminologies n'ont pas la même signification qu'en inférence Bayésienne car le PAC-Bayésien n'utilise pas nécéssairement le théorème de Bayes.

L'apprentissage PAC-Bayésien se base sur des bornes supérieures empiriques qui contrôlent l'erreur de généralisation de $Q$ : $erreur(Q)=\mathbb {E} _{h\sim Q}[erreur(h)]$ . Cette quantité est une extension naturelle de la notion d'erreur introduite précédemment quand des mesures sur $H$ sont considérées. Grâce à cette notion d'erreur sur des mesures, on peut alors définir une la notion de classe PAC-Bayésienne apprenable de façon analogue à une classe PAC-apprenable.

En supposant un accès à un jeu de données d'entraînement ${\mathcal {S}}=(x_{1},\cdots ,x_{m})\in X^{m}$ , un résultat classique de la théorie PAC-Bayésienne est la borne de McAllester ^[4], donnée ci-dessous dans le cadre particulier de la classification. Pour toute mesure a priori $P$ indépendante de ${\mathcal {S}}$ , avec probabilité au moins $1-\delta$ sur ${\mathcal {S}}$ , pour toute mesure a posteriori $Q$ ,

$erreur(Q)\leq {\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}\mathbb {1} \{h(x_{i})\neq c(x_{i})\}+{\sqrt {\frac {KL(Q,P)+\log(m/\delta )}{m}}}.$

$KL$ désigne la divergence de Kullback-Leibler. La théorie PAC-Bayésienne est suffisamment flexible pour dépasser le cadre de l'apprentissage supervisé, ce qui permet de changer l'objectif d'apprentissage supervisé $\mathbb {1} \{h(x)\neq c(x)\}$ pour $x\in X,h\in H$ pour n'importe quelle fonction de perte $\ell (h,x)$ couvrant ainsi d'autres domaines tels que l'apprentissage par renforcement ^[5]

Algorithme PAC-Bayésien[modifier | modifier le code]

Les bornes PAC-Bayésiennes sont majoritairement empiriques. Elles définissent ainsi des objectifs pratiques d'optimisation (et donc des algorithmes d'apprentissage) PAC-Bayésiens. Un exemple reconnu est l'objectif suivant, valide pour une mesure a priori $P$ et une température inverse $\lambda >0$ fixées:

$\operatorname {argmin} _{Q}{\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}\mathbb {1} \{h(x_{i})\neq c(x_{i})\}+{\frac {KL(Q,P)}{\lambda }}.$

Cet objectif, lorsqu'il est minimisé sur l'ensemble des mesures sur $H$ , possède une formulation explicite lié aux mesures de Gibbs (cf le livre de Chafai et Malrieu ^[6]) et implique, par exemple la méthode de Monte-Carlo par chaînes de Markov pour une estimation pratique. Il peut être également considéré sur des sous-classes de cette collection de mesures et la phase d'optimisation peut requérir d'autres type d'outils comme l'optimisation convexe pour la classe des fonctions gaussiennes par exemple.

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ Voir Cours de Fabien Torre sur le modèle d'apprentissage PAC.
↑ (en) L.G. Valiant. A Theory of the Learnable, Communications of the ACM, 27(11), pp. 1134-1142, November 1984.
↑ ^{a et b} Haussler 1990
↑ McAllester 2003
↑ Fard 2012
↑ Chafai,Malrieu 2016

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

M. Kearns,U. Vazirani An Introduction to Computational Learning Theory. MIT Press, 1994.
David Haussler, « Probably Approximately Correct Learning », dans Proceedings of the Eighth National Conference on Artificial Intelligence, 1990 (lire en ligne)
David McAllester, « Simplified PAC-Bayesian margin bounds », dans Learning Theory and Kernel Machines: 16th Annual Conference on Learning Theory and 7th Kernel Workshop 2003. Proceedings, 2003 (lire en ligne)
Djalil Chafai et al., « Mesures de Gibbs », dans Recueil de Modèles Aléatoires, 2016 (lire en ligne)
{{chapitre

| titre chapitre = PAC-Bayesian policy evaluation for reinforcement learning
| nom =Fard et al.| prénom = Mahdi Milani 
| titre ouvrage = 
| année =2012
| lire en ligne= https://arxiv.org/abs/1202.3717

@article{fard2012pac,

 title={PAC-Bayesian policy evaluation for reinforcement learning},
 author={Fard, Mahdi Milani and Pineau, Joelle and Szepesv{\'a}ri, Csaba},
 journal={arXiv preprint arXiv:1202.3717},
 year={2012}

}

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Apprentissage automatique

Liens externes[modifier | modifier le code]

Cours de Fabien Torre sur le modèle d'apprentissage PAC
D. Haussler. Overview of the Probably Approximately Correct (PAC) Learning Framework. Article de revue sur la PAC, ses critiques, et d'autres formalismes.
(en) Jeremy Kun, « Probably Approximately Correct — a Formal Theory of Learning », sur Math ∩ Programming, 2 janvier 2014

[1] Voir Cours de Fabien Torre sur le modèle d'apprentissage PAC.

[2] (en) L.G. Valiant. A Theory of the Learnable, Communications of the ACM, 27(11), pp. 1134-1142, November 1984.

[haussler-3] {a et b} Haussler 1990

[mcallester-4] McAllester 2003

[fard-5] Fard 2012

[chafai-6] Chafai,Malrieu 2016

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