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Résolution des équations du pendule de Foucault sous influence de l’effet de marée luni-solaire Effet de marée . Évaluation de l’ accélération induite sur un point de la shere terrestre. On rappelle la valeur de l' acceleration maximum Γen M 1 (point sur un méridien terrestre). Pour la Lune. 0 centre de la terre. TL distance Terre-- Lune .Rt rayon de la terre. Mt masse de la terre. Ml masse de la lune.G constante universelle. Γl (M1) - Γl (O) = 2 GMl Rt/TL^3 = 2 g*Ml/Mt (Rt/TL)^3 = 1.1 10^-7 g g = G Mt/Rt^2 Pour le Soleil : Γs (M1) - Γs (O) = 2 GMs Rt/TS^3 = 2 g*Ms/Mt (Rt/TS)^3 = 5.1 10^-8 g Les perturbations lunaires et solaires s' ajoutant , on résout l' effet de marée lunaire. En un point de latitude λ l' astre lune ayant un angle horaire Ai et une déclinaison δ On prendra un coefficient K =0.5 10^-6 à l' azimut 0. avec g = 9.81.

Equations du pendule de Foucault, sans effet de marée luni-solaire Dans un système d’ axe Oz verticale du lieu, xOx dirigé vers le Sud, Oy vers l’ Est . λ latitude du lieu pendule de longueur l suspendu au point O. m masse du pendule. Le pendule est parfait, La tension du fil T  a pour composantes Tx, Ty ,Tz . Le fil est sans masse. mx (t) = Tx x(t) + 2mω sin(λ) - 2mω cos(λ) z' (t) my (t) = Ty y(t) + 2mω sin(λ) mz (t) = Tz -mg + 2mω sin(λ) x' (t) Equations du pendule de Foucault, simplifié avec effet de marée lunisolaire considéré comme une perturbation. En première approximation résolvons le système simplifié suivant, dit de vibration elliptique avec x = a cos ϕ et y = b sin ϕ avec ϕ = Ωt . (sans effet Foucault) a et b dépendant des conditions initiales. a et b grand axe et petit axe de l' ellipse . Le grand axe de l' ellipse ayant l' azimut η. Le triedre Oz la verticale ascendanteOx selon le Sudet Oy selon l' Est. Ω2 = g/l. l longueur du pendule. Par rapport à la précession d ' Airy, A la fonction de forces U = - mg/2 (x^2 = y^2) s' ajoute le potentiel lunaire Ul = K Cos ( 2 Ai) x + K Sin (2 Ai) y. = K ∧ r L' acceleration perturbatrice K  dérive de ce potentiel. Calcul de la précession induite . ( Jules Haag Les mouvements vibratoires Vol II p 194,196 ) Une variation des conditions initiales induit une precession d’ Airy 3 8 g l a b

Résolution du mouvement elliptique troublé par une force perturbatrice par la méthode de variations des constantes. Jean CHAZY MéCANIQUE CELESTE PUF 1953 p 227..et p 251. Pour résoudre le problème de cette perturbation ,appliquons la méthode de variation des constantes au mouvement elliptique troublé par une force perturbatrice. Nous rappelons les équations différentielles célèbres sous le nom d’ équations de la théorie des perturbations ou équations de Lagrange. cf schéma Une des propriétés est la conservation de l’ expression d’ une intégrale du mouvement elliptique exprimé en fonction des éléments elliptiques.cf ( ci-dessous schéma) I(x',y',z',x,y,z,t) = K (a,e,i,θ,ω,τ) En particulier l’ intégrale des forces vives s’ écrit : (x’^2 + y’^2 + z’^2 )/2 - μ/ r = - μ /2 a a étant le grand axe de l’ ellipse, r le rayon vecteur pour mémoire ( le moment cinétique y z' - z y' = μa(1 - e^2) sin i sin θ ) X,Y,Z étant t les composantes de la force F . nous déduisons Ddt [(x'^2 + y'^2 + z'^2 )/2 - μ/ r ] = X x' + Y y' + Z z' où il vient : - μ / 2 a^2 ⅆa /ⅆt = X x’ + Y y’ + Z z’ Si X dérive d’ une fonction de force X = ∂xR , Y = ∂yR , Z = ∂zR R ( x,y,z,t) quelconque. En dérivant l’ intégration du mouvement elliptique par le théorème de Jacobi les constantes canoniques s’ expriment en fonction des 6 éléments elliptiques et du paramètre p de l’ ellipse. α1 = μ /2 a , α2 = μa(1 - e^2) = μ p avec p = a ( 1 - e^2) α3 = α2 cos i β1 = τ , β2 = ω - θ , β3 = θ avec la propriété ⅆαi ⅆt = ∂R / ∂βi ⅆβi ⅆt = ∂R / ∂αi pour i = 1, 2, 3 αi et βi sont les variables conjuguées. 2 PenduleFoucautPrecessionLuneSimpLsansImages2.nb

Équations canoniques : Les éléments canoniques α1,α2,α3 s' expriment en fonctions des 3 éléments elliptiques a,e, i et réciproquement et les 3 éléments β1 ,β2 ,β3 s' expriment en fonctions des 3 éléments elliptiques τ,ω, et θ . τ = β1 , ω = β2 + β3 , θ = β2 Par exemple en α1 : - μ / 2 a^2 ⅆa /ⅆt = ⅆα1 /ⅆt = ∂R / ∂β1 = ∂R / ∂τ d' où la première équation en α1: ⅆa /ⅆt = - 2 / n^2 a ∂R / ∂τ avec μ = n^2 a^3 la deuxième équation en α2; ⅆ μ p /ⅆt = ⅆα2 /ⅆt = ∂R / ∂β2 = ∂R / ∂ω avec ∂ω / ∂β2 = 1 d’ où ⅆp /ⅆt = 2 (1 - e^2) / n a ∂R / ∂ω e^2 = 1 - p / a dérivons: 2 e ⅆe /ⅆt = - 1/a ⅆp /ⅆt + p / a^2 ⅆa /ⅆt ⅆe /ⅆt = - (1 - e^2) / n a^2 e ∂R / ∂ω - ( 1 - e^2) / n^2 a^2 e ∂R / ∂τ Il s’ en déduit par symétrie et parce que ,θ,ω,τ ne dépendent pas des variables α1,α2,α3 ⅆω /ⅆt = - (1 - e^2) / n a^2 e ∂R / ∂e + tan i/2 / n a^2 (1 - e^2) ∂R / ∂i En employant la notation vectorielle , ∂R / ∂ω x,y,z désignant les composantes sur les axes fixes Ox Oy, Oz du vecteur OP , ∂x / ∂C, ∂y / ∂C, ∂z / ∂C sont les composantes du vecteur dérivée ∂OP / ∂C et nous remplaçons ∂R / ∂C par le produit scalaire F .∂OP / ∂C Les equations du mouvement plan cf schéma ci dessous. Calculons les variations des éléments de l’ ellipse dω, da,de,db sur une révolution, ϕ, l’ angle polaire variant de 0 à 2π. La longitude du noeud θ et l’ inclinaison i sont fixes. dθ/dt = 0. Les éléments à étudier sont a,e, ω et τ Les 6 équations de Lagrange se réduisent aux 4 équations : ⅆa /ⅆt = - 2 / n^2 a F .∂OP / ∂τ , ⅆe /ⅆt = - (1 - e^2) / n a^2 e F .∂OP /∂ω - (1-e^2) / n a^2 e F .∂ OP/ ∂τ ⅆω /ⅆt = - (1 - e^2) / n a^2 e F .∂OP /∂e ⅆτ /ⅆt = - 2 / n^2 a F .∂OP / ∂a + (1-e^2) / n a^2 e F .∂ OP/ ∂e On peut montrer que le théorème du moment cinétique donne : PenduleFoucautPrecessionLuneSimpLsansImages2.nb 3 ⅆ μ p /ⅆt = F .∂OP /∂ω avec μ p = na^2 (1 - e^2) Force perturbatrice donnée par ses composantes radiale, transversale et orthogonale F . (S,T,W) cf schéma ci dessous. Oσ porte le moment cinétique du point P de l’ ellipse μ p . Calcul de dω/dt Transformons l' équation en ⅆω /ⅆt ⅆω /ⅆt = - (1 - e^2) / n a^2 e F .∂OP /∂e F .∂ OP/ ∂e = ∂r /∂e S + r ∂ϕ / ∂e T ⅆOP = dr + rdϕ De l’ équation de l’ ellipse 1 / r = 1 + e cos ϕ / a ( 1 - e^2) on déduit ∂r /∂e = - a ( cos u - e ) / 1 - e cos u = - a x/ r = - a cos ϕ de façon analogue ∂ϕ / ∂e s’ obtient en dérivant logarithemiquement tan ϕ /2 = (1+e) (1-e) tan u /2 1 / sin ϕ ∂ϕ / ∂e = 1/2 ( 1/1+e + 1/ 1-e ) + 1/ sin u ∂u / ∂e L’ équation de Kepler donne ( 1 - e cos u) ∂u / ∂e = sin u ∂ϕ / ∂e = sin ϕ ( 1 1-e^2 + a r ) L’ équation en ⅆω /ⅆt devient ⅆω /ⅆt = (1-e^2) n a^2 e a [ - cos ϕ S + sin ϕ ( 1 1+ecosϕ + 1 ) T ] La loi des aires s' écrit r^2 ⅆϕ /ⅆt = n a^2 (1 - e^2) Il vient ⅆω /ⅆϕ = (1-e^2) n a^2 e a [ - cos ϕ S + sin ϕ ( 1 1+ecosϕ + 1 ) T ] r^2 n a^2 (1-e^2) ω est l’ abscissee du périhélie . Les composantes du vecteur K acceleration du champ lunaire radiales et transversales sur le plan horizontal de l’ ellipse sont S et T . Le vecteur K a pour angle horaire Ai ( azimut par rapport au Nord ) . Nous prenons l’ angle 2 Ai - η avec le grand axe de l’ ellipse. L’ angle horaire Ai est supposé constant . L’ effet de marée induit s ‘ annule deux fois par jours.et est maximum quand l’ astre passe au méridien du lieu. S = K cos( 2Ai -η - ϕ ) η étant l’ azimut du périhélie.de l’ ellipse rapportée à son grand axe. T = K sin( 2Ai -η - ϕ ) 4 PenduleFoucautPrecessionLuneSimpLsansImages2.nb ⅆω /ⅆϕ =K 1 n a^2 e a [ - cos ϕ cos ( 2Ai-η - ϕ )+ sin ϕ sin (2Ai-η - ϕ )( 1 1+ecosϕ + 1 )] r^2 n a^2 avec r^2 = a^2 ( 1 - e^2)^2 ( 1 + e cos ϕ ) ^2 Dans la parenthèse on remarque -cos cos + sin sin =- cos(2 Ai-η) qui va être multiplié par r^2 et si on intègre sur une période ( 0 2 ) correspondant à une révolution,.par un produit en 1 ( 1 + e cos ϕ ) ^2 .D’ où un premier terme - cos(2 Ai-η) ∫0 2 π 1 ( 1 + e cos ϕ ) ^2 ⅆϕ le terme sin ϕ sin(2Ai- η - ϕ ) 1 1+ecosϕ va être multiplié par r^2 et si on intègre sur une période ( 0 2 ) correspondant à une révolution,.par un produit en 1 ( 1 + e cos ϕ ) ^2 d’ ou le terme à intégrer ∫0 2 πsinϕ sin(2 Ai - η - ϕ) 1 ( 1 + e cos ϕ ) ^3 ⅆϕ Évaluons ce terme Or sinϕ sin(2Ai-η-ϕ) = 12 [sin2ϕ sin(2Ai-η)+ cos(2Ai-η)(sin^2ϕ) ] Appelons ∫0 2 π 1 ( 1 + e cos ϕ ) ^3 ⅆϕ= I3, ∫0 2 π 1 ( 1 + e cos ϕ ) ^2 ⅆϕ = I2 ,  0 2 π sin2ϕ ( 1 + e cos ϕ ) ^3 ⅆϕ = Isinϕ et  0 2 π sin^2 ϕ ( 1 + e cos ϕ ) ^3 ⅆϕ = Icosϕ Remarquons Isinϕ produit par une fonction impaire donnera une intégrale nulle. - et  0 2 π sinϕ sin (2 Ai - η - ϕ) 1 ( 1 + e cos ϕ )^3 ⅆϕ = 1 2 [-cos(2 Ai - η) Icosϕ  Pour mémoire I2 = ∫0 2 π 1 ( 1 + e cos ϕ ) ^2 ⅆϕ = 2 π ( 1 - e^2 )^3/2 I3 = ∫0 2 π1(1 + e cos ϕ)^3 ⅆϕ = ( 2 + e^2) π ( 1 - e )^5/2 ⅆω =K 1 n a^2 e a [ -cos ( 2Ai-η) I2 + 12 Icosϕ cos(2Ai-η) ] a^2 ( 1 - e^2)^2 n a^2 ⅆω =K 1 na e ( 1 - e^2)^2 n [ I2 + 12 Icosϕ ] - cos(2Ai-η) Le terme en I2 va disparaître car il restera au numérateur un facteur ( 1 - e^2)1^2 très petit. seul le terme en Icosϕ reste. ⅆω = K 1 n^2 a e 12 Icosϕ (1 - e2)2 cos(2Ai-η) ⅆω = K 1 n^2 a e 12 ∫0 2 π sin^2 ϕ 1-e22 ( 1 + e cos ϕ ) ^3 ⅆϕ cos(2Ai-η) Ω = n = 2π/ T = gl la vitesse de précession est ⅆω/T puisque l’ on a calculé ⅆω sur une révolution 0 2π. PenduleFoucautPrecessionLuneSimpLsansImages2.nb 5 dω/dt = ⅆω/T = K 1 a e 12 ∫0 2 π sin (ϕ)^2 ( 1 + e cos ϕ ) ^3 (1 - e2)2 ⅆϕ cos(2Ai-η) L g Le calcul numérique de l’ intégrale Icosϕ donne une valeur de 1.36 à 1 pour e de 0.90 à 0.95 . La vitesse de précession modulée par cos(2Ai-η) est de l’ ordre de 0.5 10^-6 rad/sec K ≃0. 5 10^-7 g (g = 9.81) et l la longueur du pendule supposé parfait ( tendu par un fil de masse nulle..) Pour aller plus loin, calculons à chaque révolution les nouveaux éléments de l’ ellipse a = a + da/dt, e = e+ de/dt, p = p+ dp/dt, ω = ω +dω/dt et db/dt afin de calculer la vitesse de precession d’ Airy induite .qui vaut 38 g l a b. Calcul de ⅆa /ⅆt Le théorème des forces vives s ‘ écrit: da/ dt = 2 n^2 a F .∂OP /∂t avec ⅆOP = ⅆr  +r dϕ F .∂OP /∂t = r' S + rϕ' T da/ dt = 2 n 1 1-e^2 [ e sin ϕ S + (1 + e cos ϕ) T ] da = 2 K (1-e^2) e n^2 sin ( 2Ai-η) ∫0 2 π 1 (1+ecosϕ)^2 ⅆϕ da = 2 K (1-e^2) e n^2 sin ( 2Ai-η) 2 π (1-e^2)^3/2 sur une periode T, d’ où da/ dt = da/T = 2 K n 2 π e 1-e^2 sin ( 2Ai-η) en m/sec. Application Numérique sur 800sec 1.6 mm. donc négligeable. Calcul de ⅆe /ⅆt 6 PenduleFoucautPrecessionLuneSimpLsansImages2.nb Appliquons le théorème du moment cinétique . Projetons le sur Oσ Les composantes du vecteur OP sont r,0,0 et la force F . ( S,T,W) soit à faire le produit vectoriel r, 0, 0 S, T, W 0,-rW, rT d’ où l’ equation en d p dt = 1 na^3/2 rT , dp dt = 2 (1-e^2)^3/2 n(1+ecosϕ) T Nous déduisons l’ equation en de/dt en dérivant la relation e^2 = 1 - p a et en substituant les expressions obtenues de dp/dt et da/dt 2e de dt = - 1 a dp dt + p a^2 da dt = - 2 1-e^2 na^2 rT + p a^2 2 n 1-e^2 (esinϕS + p r T) de dt = 1-e^2 na [ sinϕ S + ( cos u + cos ϕ )T ] de = K nae [ sin ( 2Ai-η) ∫0 2 π 1 (1+ecosϕ)^2 ⅆϕ + ∫0 2 π sin (2 Ai-η-ϕ) (1+ecosϕ)^2 ⅆϕ ] a^2 (1-e^2)^2 na^2 de = K na [ sin ( 2Ai-η) ∫0 2 π 1 (1+ecosϕ)^2 ⅆϕ  (1-e^2)^2 n de T = K na [ sin ( 2 Ai - η) 2 π (1-e^2)^3/2 (1-e^2)^2 1 de dt = de T = K na sin ( 2 Ai - η) 2 π (1 - e^2)^12 Calculons db/dt en dérivant la relation e^2 = 1 - b^2 a^2 db dt = e K n 2 π sin ( 2 Ai - η) detail du calcul de db/dt : db/dt = - ae 1-e^2 de dt + 1 - e^2 da/ dt da/dt = da/T = 2 K n 2 π e 1-e^2 sin ( 2Ai-η) de dt = de T = K na sin ( 2 Ai - η) 2 π 1 - e^2 db / dt = - ae 1 - e^2 de dt + 1 - e^2 da dt db / dt = - ae 1 - e^2 K na sin  2 Ai - η 2 π 1 - e^2 + 1 - e^2 2 K n 2 π e 1-e^2 sin ( 2 Ai-η) ] PenduleFoucautPrecessionLuneSimpLsansImages2.nb 7 db dt = e K n 2 π sin ( 2 Ai - η) La précession d' Airy qui traduit les variations des conditions initiales a et b et qui vient de la contrainte de la trajectoire du pendule qui est sur une sphère de longueur l. On rappelle b = y’[0] , y = b Sin [ωt], y’[t] = bω Cos [ωt], x = a Cos[ωt] d’ où dω/dt : dω = 38 g l a db = 38 g l a e K g l 2π sin ( 2 Ai - η) dt = 38 K a e 2 π sin ( 2 Ai - η) dt Application numérique : Prenons expérience Allais. g l = 3.44 , durée 840sec. sin ( 2 Ai - η)= 0.5 , K = 0.5 10^-6 acceleration lunaire. db = e π 0.5 × 10^-6 3.44 840 avec a = 0.4 La precession d' Airy 38 g l a db = 38 3.44 0.4 e π 0.5 × 10^-6 3.44 840 avec K = 0.5 × 10^-6 ≃ 3 0.4 π 0.5 10^-4 e ≃ 1 ≃ soit 4 fois l' effet Foucault.de 0.5 10^-4 rad/sec Au final la précession induite vaut : 3 8 a 2 π sin ( 2 Ai - η) K dt . s' annule quand K devient nul ( deux fois par jour) et est maximum au méridien quand sin ( 2 Ai - η) vaut 1 puis diminue quand le sin change de signe jusqu' à devenir négligeable au coucher de l' astre. La précession sera modulée de la même façon pendant la nuit ,l' effet de marée étant de signe opposé. La durée de cette acceleration est de 6heures pendant le lever de l' astre jusqu' à son passage au méridien du lieu Le sinus a pour valeur moyenne 0.5 ( entre 0 et π/2) . et dt = 6* 3600 = 21600 d' où une précession moyenne pendant ces 6 heures avec K moyen = 0.25 10^-6 : de 3 8 0.4 2 π 0.5 0.25 10^-6 * 21600 = 2.5 10^-3. rad/sec sur 6h. Cette précession accélère ou freine la rotation du pendule deux fois par jour suivant la course de l' astre lunaire . La moitié de cet effet existe pour l' astre solaire. Ces deux effets lunaire et solaires peuvent s' ajouter lors d' une eclipse. Force perturbatrice donnée par ses composantes radiale, transversale et orthogonale F . (S,T,W) cf schéma ci dessous. Oσ porte le moment cinétique du point P de l’ ellipse μ p . Calcul de dω/dt Transformons l' équation en ⅆω /ⅆt ⅆω /ⅆt = - (1 - e^2) / n a^2 e F .∂OP /∂e F .∂ OP/ ∂e = ∂r /∂e S + r ∂ϕ / ∂e T ⅆOP = dr + rdϕ De l’ équation de l’ ellipse 1 / r = 1 + e cos ϕ / a ( 1 - e^2) on déduit ∂r /∂e = - a ( cos u - e ) / 1 - e cos u = - a x/ r = - a cos ϕ de façon analogue ∂ϕ / ∂e s’ obtient en dérivant logarithemiquement tan ϕ /2 = (1+e) (1-e) tan u /2 1 / sin ϕ ∂ϕ / ∂e = 1/2 ( 1/1+e + 1/ 1-e ) + 1/ sin u ∂u / ∂e L’ équation de Kepler donne ( 1 - e cos u) ∂u / ∂e = sin u ∂ϕ / ∂e = sin ϕ ( 1 1-e^2 + a r ) L’ équation en ⅆω /ⅆt devient ⅆω /ⅆt = (1-e^2) n a^2 e a [ - cos ϕ S + sin ϕ ( 1 1+ecosϕ + 1 ) T ] La loi des aires s' écrit r^2 ⅆϕ /ⅆt = n a^2 (1 - e^2) Il vient ⅆω /ⅆϕ = (1-e^2) n a^2 e a [ - cos ϕ S + sin ϕ ( 1 1+ecosϕ + 1 ) T ] r^2 n a^2 (1-e^2) ω est l’ abscissee du périhélie . Les composantes du vecteur K acceleration du champ lunaire radiales et transversales sur le plan horizontal de l’ ellipse sont S et T . Le vecteur K a pour angle horaire Ai ( azimut par rapport au Nord ) . Nous prenons l’ angle 2 Ai - η avec le grand axe de l’ ellipse. L’ angle horaire Ai est supposé constant . L’ effet de marée induit s ‘ annule deux fois par jours.et est maximum quand l’ astre passe au méridien du lieu. S = K cos( 2Ai -η - ϕ ) η étant l’ azimut du périhélie.de l’ ellipse rapportée à son grand axe. T = K sin( 2Ai -η - ϕ ) 4 PenduleFoucautPrecessionLuneSimpLsansImages2.nb ⅆω /ⅆϕ =K 1 n a^2 e a [ - cos ϕ cos ( 2Ai-η - ϕ )+ sin ϕ sin (2Ai-η - ϕ )( 1 1+ecosϕ + 1 )] r^2 n a^2 avec r^2 = a^2 ( 1 - e^2)^2 ( 1 + e cos ϕ ) ^2 Dans la parenthèse on remarque -cos cos + sin sin =- cos(2 Ai-η) qui va être multiplié par r^2 et si on intègre sur une période ( 0 2 ) correspondant à une révolution,.par un produit en 1 ( 1 + e cos ϕ ) ^2 .D’ où un premier terme - cos(2 Ai-η) ∫0 2 π 1 ( 1 + e cos ϕ ) ^2 ⅆϕ le terme sin ϕ sin(2Ai- η - ϕ ) 1 1+ecosϕ va être multiplié par r^2 et si on intègre sur une période ( 0 2 ) correspondant à une révolution,.par un produit en 1 ( 1 + e cos ϕ ) ^2 d’ ou le terme à intégrer ∫0 2 πsinϕ sin(2 Ai - η - ϕ) 1 ( 1 + e cos ϕ ) ^3 ⅆϕ Évaluons ce terme Or sinϕ sin(2Ai-η-ϕ) = 12 [sin2ϕ sin(2Ai-η)+ cos(2Ai-η)(sin^2ϕ) ] Appelons ∫0 2 π 1 ( 1 + e cos ϕ ) ^3 ⅆϕ= I3, ∫0 2 π 1 ( 1 + e cos ϕ ) ^2 ⅆϕ = I2 ,  0 2 π sin2ϕ ( 1 + e cos ϕ ) ^3 ⅆϕ = Isinϕ et  0 2 π sin^2 ϕ ( 1 + e cos ϕ ) ^3 ⅆϕ = Icosϕ Remarquons Isinϕ produit par une fonction impaire donnera une intégrale nulle. - et  0 2 π sinϕ sin (2 Ai - η - ϕ) 1 ( 1 + e cos ϕ )^3 ⅆϕ = 1 2 [-cos(2 Ai - η) Icosϕ  Pour mémoire I2 = ∫0 2 π 1 ( 1 + e cos ϕ ) ^2 ⅆϕ = 2 π ( 1 - e^2 )^3/2 I3 = ∫0 2 π1(1 + e cos ϕ)^3 ⅆϕ = ( 2 + e^2) π ( 1 - e )^5/2 ⅆω =K 1 n a^2 e a [ -cos ( 2Ai-η) I2 + 12 Icosϕ cos(2Ai-η) ] a^2 ( 1 - e^2)^2 n a^2 ⅆω =K 1 na e ( 1 - e^2)^2 n [ I2 + 12 Icosϕ ] - cos(2Ai-η) Le terme en I2 va disparaître car il restera au numérateur un facteur ( 1 - e^2)1^2 très petit. seul le terme en Icosϕ reste. ⅆω = K 1 n^2 a e 12 Icosϕ (1 - e2)2 cos(2Ai-η) ⅆω = K 1 n^2 a e 12 ∫0 2 π sin^2 ϕ 1-e22 ( 1 + e cos ϕ ) ^3 ⅆϕ cos(2Ai-η) Ω = n = 2π/ T = gl la vitesse de précession est ⅆω/T puisque l’ on a calculé ⅆω sur une révolution 0 2π. PenduleFoucautPrecessionLuneSimpLsansImages2.nb 5 dω/dt = ⅆω/T = K 1 a e 12 ∫0 2 π sin (ϕ)^2 ( 1 + e cos ϕ ) ^3 (1 - e2)2 ⅆϕ cos(2Ai-η) L g Le calcul numérique de l’ intégrale Icosϕ donne une valeur de 1.36 à 1 pour e de 0.90 à 0.95 . La vitesse de précession modulée par cos(2Ai-η) est de l’ ordre de 0.5 10^-6 rad/sec K ≃0. 5 10^-7 g (g = 9.81) et l la longueur du pendule supposé parfait ( tendu par un fil de masse nulle..) Pour aller plus loin, calculons à chaque révolution les nouveaux éléments de l’ ellipse a = a + da/dt, e = e+ de/dt, p = p+ dp/dt, ω = ω +dω/dt et db/dt afin de calculer la vitesse de precession d’ Airy induite .qui vaut 38 g l a b. Calcul de ⅆa /ⅆt Le théorème des forces vives s ‘ écrit: da/ dt = 2 n^2 a F .∂OP /∂t avec ⅆOP = ⅆr  +r dϕ F .∂OP /∂t = r' S + rϕ' T da/ dt = 2 n 1 1-e^2 [ e sin ϕ S + (1 + e cos ϕ) T ] da = 2 K (1-e^2) e n^2 sin ( 2Ai-η) ∫0 2 π 1 (1+ecosϕ)^2 ⅆϕ da = 2 K (1-e^2) e n^2 sin ( 2Ai-η) 2 π (1-e^2)^3/2 sur une periode T, d’ où da/ dt = da/T = 2 K n 2 π e 1-e^2 sin ( 2Ai-η) en m/sec. Application Numérique sur 800sec 1.6 mm. donc négligeable. Calcul de ⅆe /ⅆt 6 PenduleFoucautPrecessionLuneSimpLsansImages2.nb Appliquons le théorème du moment cinétique . Projetons le sur Oσ Les composantes du vecteur OP sont r,0,0 et la force F . ( S,T,W) soit à faire le produit vectoriel r, 0, 0 S, T, W 0,-rW, rT d’ où l’ equation en d p dt = 1 na^3/2 rT , dp dt = 2 (1-e^2)^3/2 n(1+ecosϕ) T Nous déduisons l’ equation en de/dt en dérivant la relation e^2 = 1 - p a et en substituant les expressions obtenues de dp/dt et da/dt 2e de dt = - 1 a dp dt + p a^2 da dt = - 2 1-e^2 na^2 rT + p a^2 2 n 1-e^2 (esinϕS + p r T) de dt = 1-e^2 na [ sinϕ S + ( cos u + cos ϕ )T ] de = K nae [ sin ( 2Ai-η) ∫0 2 π 1 (1+ecosϕ)^2 ⅆϕ + ∫0 2 π sin (2 Ai-η-ϕ) (1+ecosϕ)^2 ⅆϕ ] a^2 (1-e^2)^2 na^2 de = K na [ sin ( 2Ai-η) ∫0 2 π 1 (1+ecosϕ)^2 ⅆϕ  (1-e^2)^2 n de T = K na [ sin ( 2 Ai - η) 2 π (1-e^2)^3/2 (1-e^2)^2 1 de dt = de T = K na sin ( 2 Ai - η) 2 π (1 - e^2)^12 Calculons db/dt en dérivant la relation e^2 = 1 - b^2 a^2 db dt = e K n 2 π sin ( 2 Ai - η) detail du calcul de db/dt : db/dt = - ae 1-e^2 de dt + 1 - e^2 da/ dt da/dt = da/T = 2 K n 2 π e 1-e^2 sin ( 2Ai-η) de dt = de T = K na sin ( 2 Ai - η) 2 π 1 - e^2 db / dt = - ae 1 - e^2 de dt + 1 - e^2 da dt db / dt = - ae 1 - e^2 K na sin  2 Ai - η 2 π 1 - e^2 + 1 - e^2 2 K n 2 π e 1-e^2 sin ( 2 Ai-η) ] PenduleFoucautPrecessionLuneSimpLsansImages2.nb 7 db dt = e K n 2 π sin ( 2 Ai - η) La précession d' Airy qui traduit les variations des conditions initiales a et b et qui vient de la contrainte de la trajectoire du pendule qui est sur une sphère de longueur l. On rappelle b = y’[0] , y = b Sin [ωt], y’[t] = bω Cos [ωt], x = a Cos[ωt] d’ où dω/dt : dω = 38 g l a db = 38 g l a e K g l 2π sin ( 2 Ai - η) dt = 38 K a e 2 π sin ( 2 Ai - η) dt Application numérique : Prenons expérience Allais. g l = 3.44 , durée 840sec. sin ( 2 Ai - η)= 0.5 , K = 0.5 10^-6 acceleration lunaire. db = e π 0.5 × 10^-6 3.44 840 avec a = 0.4 La precession d' Airy 38 g l a db = 38 3.44 0.4 e π 0.5 × 10^-6 3.44 840 avec K = 0.5 × 10^-6 ≃ 3 0.4 π 0.5 10^-4 e ≃ 1 ≃ soit 4 fois l' effet Foucault.de 0.5 10^-4 rad/sec Au final la précession induite vaut : 3 8 a 2 π sin ( 2 Ai - η) K dt . s' annule quand K devient nul ( deux fois par jour) et est maximum au méridien quand sin ( 2 Ai - η) vaut 1 puis diminue quand le sin change de signe jusqu' à devenir négligeable au coucher de l' astre. La précession sera modulée de la même façon pendant la nuit ,l' effet de marée étant de signe opposé. La durée de cette acceleration est de 6heures pendant le lever de l' astre jusqu' à son passage au méridien du lieu Le sinus a pour valeur moyenne 0.5 ( entre 0 et π/2) . et dt = 6* 3600 = 21600 d' où une précession moyenne pendant ces 6 heures avec K moyen = 0.25 10^-6 : de 3 8 0.4 2 π 0.5 0.25 10^-6 * 21600 = 2.5 10^-3. rad/sec sur 6h. Cette précession accélère ou freine la rotation du pendule deux fois par jour suivant la course de l' astre lunaire . La moitié de cet effet existe pour l' astre solaire. Ces deux effets lunaire et solaires peuvent s' ajouter lors d' une eclipse.

Éléments elliptiques et relations de l' ellipse. Loi de Kepler. 8 PenduleFoucautPrecessionLuneSimpLsansImages2.nb sdd grand axe a excentricite e parametre p rayon r = a ( 1 -e cos u) ou 1/r = p/ ( 1 = e cos ϕ) p= a (1- e^2) Loi de Kepler μ = n^2 a ^3 u - e sin u = n( t - τ) + + Bibliographie Jean CHAZY MéCANIQUE CELESTE PUF 1953 p 227..et p 251. Jules HAAG Les MOUVEMENTS VIBRATOIRES Tome II p193-198 (précession d’ Airy) Mécanique 1ere année MPSI H Prépa . Hachette 2003 p 208-218.