Transducteur fini

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En informatique théorique, en linguistique, et en particulier en théorie des automates, un transducteur fini (appelé aussi transducteur à états finis par une traduction littérale de l'anglais finite state transducer) est un automate fini avec sorties. C'est une extension des automates finis. Ils opèrent en effet sur les mots sur un alphabet d'entrée et, au lieu de simplement accepter ou refuser le mot, ils le transforment, de manière parfois non déterministe, en un ou plusieurs mots sur un alphabet de sortie. Ceci permet des transformations de langages, et aussi des utilisations variées telles que notamment l'analyse syntaxique des langages de programmation, et l'analyse morphologique ou l'analyse phonologique en linguistique.

Une des propriétés remarquables des transducteurs finis est qu'ils transforment les langages rationnels en langages rationnels, et les langages algébriques en langages algébriques.

Définitions formelles[modifier | modifier le code]

Un transducteur fini est une machine mathématique qui transforme des mots. Une telle machine est conçue sur le modèle des automates finis, avec, pour chaque transition, une étiquette additionnelle sous forme d'un mot. Chaque transition est donc dotée de deux étiquettes. Ceci est fréquemment représenté par l'écriture

Le symbole est l' étiquette d'entrée, le symbole est l' étiquette de sortie de la transition. De manière imagée, on dit que le transducteur « lit » le symbole et « écrit » le symbole en passant de l'état à l'état . En itérant cette action un transducteur lit un mot de gauche à droite sur son ruban d'entrée et écrit un mot sur son ruban de sortie.

La finitude du transducteur signifie la finitude du nombre d'états. Mais comme souvent en informatique théorique, les machines sont - en principe - non déterministes, c'est-à-dire qu'il existe plusieurs exécutions où un même mot est lu, mais les états pris par la machine et les mots écrits peuvent différer dans les différentes exécutions.

Les transducteurs finis ont de nombreuses propriétés théoriques, et des applications pratiques nombreuses, par exemple en compilation, en reconnaissance de la parole et en linguistique.

Transducteur fini[modifier | modifier le code]

Un transducteur fini est défini par un 6-uplet T = ( , , , , , ), où :

  • l' alphabet fini d'entrée
  • l' alphabet fini de sortie
  • l'ensemble fini des états du transducteur
  • l'ensemble des états initiaux
  • l'ensemble des états finaux
  • la table de transition : c'est un sous-ensemble de est le mot vide.

La propriété signifie qu'il existe une transition de l'état vers l'état par laquelle on lit le symbole sur le ruban d'entrée et on écrit le symbole sur le ruban de sortie. Ceci est fréquemment représenté par l'écriture

Le symbole est l' étiquette d'entrée, le symbole est l' étiquette de sortie de la transition. On note comme d'usage

  • le monoïde libre des mots sur l'alphabet d'entrée
  • le monoïde libre des mots sur l'alphabet de sortie

Clôture transitive[modifier | modifier le code]

La clôture transitive de est la plus petite relation (pour l'inclusion des relations) vérifiant :

  • (réflexivité)
  • Si et , alors (transitivité)

En d'autres termes, signifie qu'il existe un chemin de l'état vers l'état dont l'étiquette d'entrée est le mot et l'étiquette de sortie est le mot . Un chemin est réussi si et .

Relation rationnelle[modifier | modifier le code]

Par analogie avec les automates à états finis qui reconnaissent un langage, un transducteur fini reconnaît une relation, notée du produit cartésien des deux monoïdes libres. On a ou si et seulement s'il existe et tel que . En d'autres termes, est en relation avec si et seulement s'il existe un chemin réussi qui lit et écrit .

Variante de définition[modifier | modifier le code]

Au lieu de demander que les étiquettes des transitions soient des lettres ou le mot vide, on autorise comme étiquettes des mots sur l'alphabet d'entrée resp. l'alphabet de sortie.

Les différentes façons de considérer un transducteur fini[modifier | modifier le code]

Un transducteur fini peut être vu de plusieurs façons, ce qui permet des utilisations tout à fait différentes.

Transducteur vu comme un automate[modifier | modifier le code]

Dans le cas où aucune des étiquettes du transducteur n'est le mot vide, on peut voir un transducteur comme un cas particulier des automates finis. Il vérifie alors les propriétés classiques des automates.

Il suffit en effet de considérer un automate dont l'alphabet est le produit cartésien des deux alphabets : .

Transducteur vu comme une relation rationnelle[modifier | modifier le code]

Le fait de considérer un transducteur comme une relation rationnelle permet d'établir une propriété primordiale dans l'étude et l'utilisation de ceux-ci : la clôture par composition.

Opérations sur les transducteurs[modifier | modifier le code]

Opérations héritées des automates[modifier | modifier le code]

  • Union : soient et deux transducteurs finis. On définit un transducteur fini, noté tel que .
  • Produit de concaténation : soient et deux transducteurs, alors il existe un transducteur noté tel que si et seulement si et . En d'autres termes, .
  • Étoile de Kleene : soit , alors il existe un transducteur noté qui correspond à l'étoile pour l'opération de concaténation.

Attention, l'intersection de relations rationnelles n'est pas nécessairement rationnelle (l'intersection de deux relations et est la relation définie par )

Composition[modifier | modifier le code]

Considérons deux transducteurs finis et tels que l'alphabet de sortie de coïncide avec l'alphabet d'entrée de .

Le composé est défini par la relation  :

tel que et .

Il est important de noter que la composition de deux transducteurs finis est encore un transducteur fini. Ainsi la composition permet d'élaborer facilement des transducteurs ayant une fonction complexe à partir de transducteurs simples.

Projections[modifier | modifier le code]

  • Projection gauche : la projection gauche d'une relation est l'ensemble . Soit un transducteur fini. La projection gauche de la relation est un langage rationnel: il existe automate fini qui la reconnaît; il suffit en effet d’« oublier » les étiquettes de sortie sur les transitions de .
  • Projection droite : de même, la projection droite d'une relation rationnelle est un langage rationnel.

Application à l'analyse grammaticale[modifier | modifier le code]

Dans cette section, nous donnons deux exemples de transducteurs. Étant donné une phrase, le but est de générer une suite qui donne la nature grammaticale de chaque mot de la phrase. Par exemple, si la phrase est "Alex aime les frites" alors le but est de générer la séquence NOM VERBE ARTICLE NOM. Pour cela, on définit deux transducteurs.

Le premier transducteur, noté (pour lexique) transforme une séquence de lettres suivies d'un espace en un mot, si le mot fait partie du lexique.

Un exemple de Lexique.
Un exemple de Lexique.

Un deuxième transducteur, noté (pour Dictionnaire) transforme un mot en sa nature grammaticale (ou éventuellement plusieurs si le mot possède plusieurs natures grammaticales).

Un exemple de Dictionnaire
Un exemple de Dictionnaire

Ainsi, il suffit de considérer le transducteur composé . Comme la composition préserve la fonction des transducteurs, ce nouveau transducteur prendra en entrée une séquence de lettres, et écrira en sortie une séquence de natures grammaticales correspondants aux mots de la phrase.

Extension du modèle : transducteur fini pondéré[modifier | modifier le code]

De même que pour les automates finis, les transducteurs finis peuvent être améliorés en les pondérant. La méthode est d'ailleurs identique à celle utilisée pour les automates fini pondérés.

Une telle optimisation peut se voir utilisée par exemple dans des correcteurs d'orthographe. Pour cela, il suffit de définir une distance entre les mots comme d(u,v) = nombre de modifications nécessaires pour transformer u en v. Il suffit alors de définir un transducteur qui réalise des transformations élémentaires (changement de lettre, ajout d'une lettre, suppression d'une lettre) en pondérant correctement ces transformations.

Ainsi, à chaque fois qu'un mot n'existe pas dans le dictionnaire, une comparaison de ce mot aux autres par l'intermédiaire du transducteur pondéré déterminera quel mot correct est le plus proche.

Articles connexes[modifier | modifier le code]