Méthode de Brzozowski et McCluskey

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En informatique théorique, et notamment en théorie des automates, la méthode de Brzozowski et McCluskey, aussi appelée méthode d'élimination d'états (« state elimination method »), est une méthode permettant d'obtenir une expression rationnelle à partir d'un automate fini. L'algorithme porte le nom de ses inventeurs, J. A. Brzozowski et E. J. McCluskey, qui l'ont présenté en 1963.

Principe[modifier | modifier le code]

L'algorithme utilise de façon intensive la représentation graphique de l'automate. L'automate lui-même est généralisé, en autorisant, comme étiquettes des transitions, non seulement des lettres, mais des expressions régulières. Partant d'une automate fini, on élimine progressivement les états, et à la fin, on se retrouve avec un automate ayant une seule transition. L'étiquette de cette transition est une expression rationnelle pour le langage reconnu par l'automate.

L'algorithme est exposé dans plusieurs manuels[1],[2] ou des cours[3].

Automate généralisé[modifier | modifier le code]

Un automate généralisé est défini comme un automate fini non déterministe traditionnel, avec les particularités suivantes :

  • il possède un seul état initial α et un seul état final ω ;
  • les transitions sont étiquetées par des expressions rationnelles ;
  • aucune transition n'entre dans α et aucune transition ne sort de l’état final ω.

Un mot w est reconnu par l'automate généralisé s'il existe un chemin allant de α à ω tel que w appartient au langage dénoté par le produit des expressions régulières apparaissant comme étiquettes de ce chemin. Le langage reconnu est l'ensemble des mots reconnus. Deux automates sont équivalents s'ils reconnaissent le même langage.

On peut facilement transformer un automate ordinaire A en un automate généralisé : il suffit d'ajouter les états α et ω et des ε-transitions de α vers les états initiaux de A, et des ε-transitions des états terminaux de A vers ω.

Algorithme[modifier | modifier le code]

Étant donné un automate généralisé, on calcule un automate généralisé ayant moins de transitions ou d'états, en appliquant les transformations ci-dessous sans modifier le langage reconnu. À la fin, il ne reste que les deux états α et ω et une transition de α et ω dont l'étiquette est une expression régulière dénotant le langages reconnu. Les transformations sont des réductions des transitions et des réductions des états.

Réduction des transitions 
On remplace deux transitions et par la transition :
Réduction des états 
On enlève un état choisi, et pour chaque couple d'un prédécesseur de et d'un successeur de , on remplace les transitions , et par s'il y a une transition , et par sinon.

Exemple[modifier | modifier le code]

Considérons l'automate suivant (qui reconnaît l'ensemble des mots contenant un nombre impair de lettres b).

Après adjonction des états α et ω, on élimine progressivement l'état 2 puis l'état 1.

On obtient l'expression rationnelle qui caractérise le langage reconnu par l'automate de départ.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]