Automate sur les mots infinis

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En informatique théorique, et spécialement en théorie des automates, un automate sur les mots infinis ou ω-automate est un automate fini qui accepte des mots infinis. Un tel automate lit un mot infini, ainsi, l'exécution ne s'arrête pas ; les conditions d'acceptation portent sur l'exécution elle-même là où elles ne traitent que de l'état d'arrivée (et de la possibilité de lire le mot) dans le cas des automates sur les mots finis.

Les automates sur les mots infinis servent à modéliser des calculs qui ne sont pas censés se terminer, comme le comportement d'un système d'exploitation, ou d'un système de contrôle. Pour de tels systèmes, on peut spécifier des propriétés comme « chaque requête sera suivie d'une réponse » ou sa négation « il existe un requête qui n'est pas suivie d'une réponse ». De telle propriétés peuvent être formulées pour des mots infinis et peuvent être vérifiées par des automates finis.

Plusieurs classes d'automates sur les mots infinis ont été introduites : les automates de Büchi, automates de Rabin, automates de Streett, automates de parité, automates de Muller et, pour chaque classe, les automates déterministes ou non. Ces classes diffèrent seulement par leur condition d'acceptation. Toutes ces classes, à l'exception notable des automates de Büchi déterministes, reconnaissent la même famille d'ensembles de mots infinis, appelés ensembles rationnels de mots infinis ou ω-langages rationnels. Ces automates, même s'ils acceptent les mêmes langages, peuvent varier en taille pour un langage donné.

Définition[modifier | modifier le code]

Comme pour les automates finis, un automate sur les mots infinis sur un alphabet est un quadruplet , où :

  • est un ensemble fini d'états,
  • est l'ensemble des transitions,
  • est l'ensemble des états initiaux,
  • et est un ensemble d'états finals ou terminaux.

Souvent on suppose qu'il existe un seul état initial[1]. Une transition est composée d'un état de départ , d'une étiquette et d'un état d'arrivée . Un calcul (on dit aussi un chemin ou une trace) est une suite infinie de transitions consécutives :

Son état de départ est , son étiquette est le mot infini . Il n'a pas d'état d'arrivée, et le calcul est réussi et le mot est accepté ou reconnu en fonction de la condition d'acceptation de la famille d'automates considéré. La condition d'acceptation remplace alors l'ensemble des états terminaux.

Un automate est déterministe s'il vérifie les deux conditions suivantes :

  • il possède un seul état initial ;
  • pour tout état , et pour toute lettre , il existe au plus une transition partant de et portant l'étiquette .

Pour un automate déterministe, la fonction de transition est la fonction partielle définie par : si est une transition.

Condition d'acceptation[modifier | modifier le code]

Pour un calcul , on note l'ensemble des états qui apparaissent une infinité de fois dans . C'est ce concept qui permet de formuler les conditions d'acceptation.

Automate de Büchi

Article détaillé : automate de Büchi.

La condition d'acceptation est : accepte un mot infini si et seulement s'il est l'étiquette d'un calcul pour lequel contient au moins un état final, donc tel que .

Automate de Rabin

Un automate de Rabin comporte un ensemble de couples d'ensembles d'états. La condition d'acceptation est : accepte un mot infini si et seulement s'il est l'étiquette d'un calcul pour lequel il existe un couple de tel que et .

Automate de Streett

Un automate de Streett comporte un ensemble de couples d'ensembles d'états. La condition d'acceptation est : accepte un mot infini si et seulement s'il est l'étiquette d'un calcul tel que pour tout couple de , on a et .

La condition de Streett est la négation de la condition de Rabin. Un automate de Streett déterministe accepte donc exactement le complément de l'ensemble accepté par l'automate de Rabin déterministe pour le même ensemble .

Automate de parité

Un automate de parité est un automate dont les états sont numérotés, disons . La condition d'acceptation est : accepte un mot infini si et seulement s'il est l'étiquette d'un calcul tel que le plus petit des entiers dans est pair.

Automate de Muller

Article détaillé : automate de Muller.

Un automate de Muller comporte une famille d'ensemble d'états. La condition d'acceptation est : accepte un mot infini si et seulement s'il est l'étiquette d'un calcul tel que est dans .

Tout automate de Büchi peut être vue comme un automate de Muller: Il suffit de prendre comme famille l'ensemble des parties de contenant au moins un état final. Réciproquement, pour tout automate de Muller à états et ensembles d’acceptation, il existe un automate de Büchi équivalent avec au plus états[2]. De manière similaire, les automates de Rabin, de Streett et les automates de parité peuvent être vus comme des automates de Muller.

Exemple[modifier | modifier le code]

Automate de Büchi non déterministe reconnaissant les mots infinis contenant un nombre fini de .

Les automates de Büchi déterministes et non déterministes ne sont pas équivalents. Par exemple, il n'existe pas d'automate de Büchi déterministe qui reconnaît les mots infinis sur deux lettres et qui ne contiennent qu'un nombre fini de lettres , c'est-à-dire l'ensemble , alors que cet ensemble est reconnu par l'automate de Büchi non déterministe à deux états décrit dans la figure ci-contre.

Puissance d'expression[modifier | modifier le code]

Un langage de mots infinis ou ω-langage est un ensemble de mots infinis sur un alphabet donné. La puissance d'expression d'un ω-automate est mesurée par la classe de tous ω-langages qui peuvent être reconnus par un automate de cette classe. Les automates de Büchi non déterministes, de parité, de Rabin, de Streett et de Muller reconnaissent tous les mêmes langages, qui sont les ensembles rationnels de mots infinis ou ω-langages rationnels. On peut montrer que les automates de parité, de Rabin, de Streett et de Muller déterministes reconnaissent également ces mêmes langages, contrairement donc aux automates de Büchi déterministes. Il en résulte en particulier que la classe des ω-langages est fermée par complémentation.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Par exemple : Farwer 2002.
  2. Farwer 2002, p. 7.

Références[modifier | modifier le code]

  • Berndt Farwer, « ω-Automata », dans Erich Grädel, Wolfgang Thomas et Thomas Wilke (éditeurs), Automata, logics, and infinite games : A guide to current research, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Computer Science » (no 2500),‎ , viii+385 p. (ISBN 978-3-540-00388-5), p. 3-22.
  • (en) Wolfgang Thomas, « Automata on infinite objects », dans Jan Van Leeuwen (éditeur), Handbook of Theoretical Computer Science, vol. B : Formal Models and Semantics, Elsevier, (ISBN 978-0444880741), p. 133-192
  • (en) Dominique Perrin et Jean-Éric Pin, Infinite Words: Automata, Semigroups, Logic and Games, Elsevier, (ISBN 978-0-12-532111-2)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]