Langage algébrique

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En théorie des langages formels, un langage algébrique ou langage non contextuel est un langage qui peut être engendré par une grammaire algébrique. De manière équivalente un langage algébrique est un langage reconnu par automate à pile.

Les langages algébriques forment les langages de type 2 dans la hiérarchie de Chomsky. Ils ont des applications importantes dans la description des langages de programmation et en linguistique. Ils interviennent également dans la description des langages XML.

Quelques exemples[modifier | modifier le code]

  • Le langage 
\{a^n b^n \mid n \geqslant 0\} = \{\varepsilon, ab, aabb, aaabbb, \dots\} est l'exemple type d'un langage algébrique qui n'est pas un langage rationnel. Il est formé des mots qui ont autant de lettres a que de lettres b, et avec la condition supplémentaire que les lettres a précèdent les lettres b.
  • Les expressions arithmétiques, utilisant les quatre opérations élémentaires, par exemple a \times b + (a + b) / d, etc, forment un langage algébrique. C'est d'ailleurs cette observation qui historiquement est à la base du développement des compilateurs qui doivent, entre autres, traduire des expressions arithmétiques complexes en les décomposant en opération élémentaires.

Pour prouver que ces langages sont algébriques, on donne une grammaire non contextuelle qui les engendre. Voir le paragraphe d'exemples de l'article en question pour plus de détails. Pour des langages plus compliqués, on peut utiliser des méthodes plus puissantes, comme les transductions rationnelles ou le fait que les langages algébriques forment une famille abstraite de langages.

  • Le langage \displaystyle\{a^nc^{m_1}d^{m_1}c^{m_2}d^{m_2}\cdots c^{m_n}d^{m_n}\mid n,m_1,\ldots,m_n\ge1\} est algébrique. Les mots de ce langage sont composés d'un premier groupe formé d'un certain nombre de lettres a, suivis d'autant de blocs ; chacun de ces blocs est formé de lettres c suivies du même nombre de d. Cette description donne une indication sur la manière de construire le langage : il est obtenu à partir du langage \{a^n b^n \mid n \ge1\}, en substituant, à chaque lettre b, le langage \{c^m d^m \mid m \ge1\}. Comme les langages algébriques sont fermés par substitution (voir ci-dessous), le langage obtenu est algébrique.
  • Le langage de Goldstine G sur deux lettre a, b est encore plus compliqué. C'est l'ensemble des mots \displaystyle a^{n_1}ba^{n_2}b\cdots a^{n_p}bp\ge1, n_i\ge0 et n_j\ne j pour un j avec 1\le j\le p. On veut donc que n_1\ne 1 ou n_2\ne 2 ou... n_p\ne p. Il est presque plus simple de se demander quand un mot a^{n_1}ba^{n_2}b\cdots a^{n_p}b n'est pas dans le langage : c'est lorsque les n_j sont tous égaux à j, donc lorsque le mot est aba^2b\cdots a^pb.
    Pour vérifier que ce langage est algébrique, on part du langage algébrique \displaystyle\{a^pb^qc\mid p,q\ge0, q\ne p+1\} et on applique la substitution \displaystyle a\mapsto a^*b,\quad b\mapsto a,\quad c\mapsto b(a^*)b^*. Le langage G est le résultat de cette substitution.Ce langage est lié au mot infini  \displaystyle x=aba^2ba^3b\cdots a^nb\cdots. En effet, le langage G est l’ensemble des mots qui ne sont pas préfixes de mots de x et qui se terminent par la lettre b.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Tout langage rationnel est algébrique car il peut être décrit par une grammaire régulière, qui est un cas particulier de grammaire non contextuelle.

Propriétés de clôture[modifier | modifier le code]

La classe des langages algébriques possède certaines propriétés de clôture :

  • L'union et la concaténation de deux langages algébriques sont des langages algébriques.
  • L'étoile d'un langage algébrique est algébrique.
  • L'intersection de deux langages algébriques ne l'est pas nécessairement. Par exemple, l'intersection des langages \{a^n b^n c^m \mid n,m > 0\} et \{a^n b^m c^m \mid n,m > 0\} est \{a^n b^n c^n \mid n > 0\}. Ce langage n'est pas algébrique (on le prouve traditionnellement à l'aide d'un lemme d'itération pour les langages algébriques). Par conséquent, la classe des langages algébriques n'est pas non plus close par complémentaire.
  • L'image miroir d'un langage algébrique est un langage algébrique[a 1].
  • L'intersection d'un langage algébrique et d'un langage rationnel est toujours algébrique[a 1].
  • L'image homomorphe, l'image homomorphe inverse d'un langage algébrique est algébrique.

De ces propriétés, il résulte que

Clôture par substitution[modifier | modifier le code]

Une substitution de A^* dans B^* est une application \sigma de A^* dans l'ensemble des parties de B^* qui est un morphisme de monoïde, c'est-à-dire vérifie les deux propriétés:

  1. \sigma(\varepsilon)=\{\varepsilon\}
  2. \sigma(xy)=\sigma(x)\sigma(y) pour des mots x et y.

Dans la deuxième formule, le produit est le produit des parties de B^*.

Un substitution \sigma est algébrique si \sigma(a) est un langage algébrique pour toute lettre a.

Le théorème de substitution affirme que si \sigma est une substitution algébrique, alors \sigma(L) est un langage algébrique pour tout langage algébrique L.

Propriétés indécidables[modifier | modifier le code]

L'appartenance d'un mot à un langage algébrique est décidable ; elle peut être testée grâce à l'algorithme CYK. On sait également décider si un langage algébrique (défini à partir d'une grammaire) est vide[a 2].

Mais contrairement aux langages rationnels, de nombreux autres problèmes sur les langages algébriques sont indécidables. Par exemple, il n'existe pas d'algorithme pour tester l'égalité de deux langages algébriques[a 3]. Plus précisément, les propriétés suivantes sont indécidables. Soient L, L_1, L_2 des langages algébriques, donnés par exemple par leurs grammaires, sur un alphabet A, et soit R un langage rationnel. Sont indécidables :

  • L_1\cap L_2 = \emptyset ;
  • L= A^* ;
  • L_1 = L_2 ;
  • L_1 \subset L_2 ;
  • L = R ;
  • R \subset L ;
  • Le complémentaire de L est algébrique ;
  • L_1 \cap L_2 est algébrique ;
  • L est rationnel ;
  • L est inhéremment ambigu. Il est même indécidable qu'une grammaire donnée soit inambiguë.

Langages algébriques déterministes et inambigus[modifier | modifier le code]

Langages déterministes[modifier | modifier le code]

Un langage algébrique est dit déterministe s'il est reconnu par un automate à pile déterministe.

La classe des langages algébriques déterministes contient la classe des langages rationnels et est strictement incluse dans celle des langages algébriques. Le contre-exemple type de langage algébrique non déterministe est l'ensemble des palindromes.

La définition implique que l'appartenance d'un mot à un langage algébrique déterministe peut être testée en temps linéaire, contrairement au cas des langages algébriques quelconques. En outre, tout langage algébrique déterministe peut être décrit par une grammaire LR(1) et réciproquement. Cela permet de les utiliser pour des applications pratiques. Ainsi, la plupart des langages de programmation sont des langages algébriques déterministes.

La classe des langages algébriques déterministes est close par complémentaire[b 1]. Cependant :

  • elle n'est pas close par intersection (même contre-exemple que dans le cas non déterministe) ;
  • elle n'est pas close par union (conséquence des deux propriétés précédentes) ;
  • elle n'est pas close par concaténation (la fermeture de Kleene L_1^* du langage L_1 défini plus haut est algébrique déterministe, mais pas L_1^* . L_2) ;
  • elle n'est pas close par miroir, par exemple, \{c a^n b^n\} \cup \{d a^{2n} b^n\} est algébrique déterministe mais pas \{b^n a^n c\} \cup \{b^n a^{2n} d\}.

Langages inambigus[modifier | modifier le code]

Un langage algébrique est inambigu ou non ambigu s'il existe une grammaire inambigue qui l'engendre. Un langage qui n'est pas inambigu est inhéremment ambigu.

Tout langage déterministe est inambigu, mais les langages inambigus sont fermés par miroir, donc l'inclusion est stricte. Il existe des langages algébriques inhéremment ambigus, comme le langage \{a^nb^nc^m\mid n,m\ge0\}\cup \{a^nb^mc^m\mid n,m\ge0\}. Ceci se prouve à l'aide du lemme d'Ogden.

Théorèmes de représentation[modifier | modifier le code]

Trois théorèmes donnent une façon générale de représenter les langages algébriques[1].

Théorème de Chomsky-Schützenberger[modifier | modifier le code]

Le théorème affirme que les langages de Dyck sont des langages algébriques « typiques ».

Théorème de Chomsky-Schützenberger — Un langage L sur un alphabet A est algébrique si et seulement s'il existe un langage de Dyck D, un langage rationnel K et un morphisme alphabétique \varphi (c'est-à-dire tel que l'image d'une lettre est une lettre ou le mot vide) tels que

L=\varphi(D\cap K).

Théorème de Shamir[modifier | modifier le code]

Théorème de Shamir — Un langage L sur un alphabet A est algébrique si et seulement s'il existe un alphabet B, une lettre b\in B et un morphisme \Phi de A^* dans l'ensemble des parties de (B\cup\bar B)^* tels que

L=\{u\in A^*\mid b\Phi(u)\cap D_B^*\ne\emptyset\}.

Ici, \bar B est une copie disjointe de B, et D_B^* est le langage de Dyck sur B\cup \bar B

Théorème du langage le plus difficile, de Greibach[modifier | modifier le code]

Le « langage le plus difficile » (hardest language en anglais) a été défini par Sheila Greibach (en) en 1973. C'est un langage où le test d'appartenance est le plus difficile, au sens que tout algorithme de test d'appartenance se traduit en un test d'appartenance pour tout autre langage algébrique.

Étant donné un langage L sur un alphabet A, la version non déterministe de L, et le langage noté N(L) défini comme suit. On ajoute à A les trois nouvelles lettres [,],{+}. Sur ce nouvel alphabet, on considère le langage K=([(A^*{+})*A^*])^*. Tout mot h de K admet une factorisation

h=[h_1][h_2]\cdots [h_n]

et chaque mot h_i lui-même s'écrit sous la forme

h_i=h_{i,1}{+}h_{i,2}{+}\cdots{+}h_{i,k_i}

où les mots h_{i,j} sont sur l'alphabet A. Un choix dans h est un mot

h_{1,j_1}h_{2,j_2}\cdots h_{n,j_n}

obtenu en choisissant un facteur h_{i,j_i} dans chaque [h_i]. Notons \chi(h) l'ensemble des choix dans h. La version no déterministe de L est défini par

N(L)=\{h\mid \chi(h)\cap L\ne\emptyset\}

Le langage le plus difficile est par définition le langage H qui est la version non déterministe du langage de Dyck D_2^* sur deux paires de parenthèses.

Théorème du langage le plus difficile (Greibach) — Un langage L sur un alphabet A est algébrique si et seulement s'il existe un morphisme \varphi tel que l'on ait

\$L=\varphi^{-1}(H),

H est le langage le plus difficile et \$ est une lettre qui n'est pas dans A.

Le terminologie vient du fait que le test d'appartenance d'un mot x à L se réduit au test d'appartenance du mot \varphi(\$x) au langage H. Ainsi, tout algorithme de test d'appartenance à H fournit un algorithme général de test d'appartenance, pour les langages algébriques, de même complexité.

Notes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  1. a et b Chapitre 7, p. 285
  2. Chapitre 7, p. 296.
  3. Chapitre 7, p. 302
  • (fr) Pierre Wolper, Introduction à la calculabilité (3e édition), Dunod 2006. (ISBN 2-10-049981-5).
  1. Section 4.4.4, p. 97
  • Jean-Michel Autebert, Jean Berstel et Luc Boasson, « Context-free languages and pushdown automata », dans G. Rozenberg, A. Salomaa (éditeurs), Handbook of Formal Languages, vol. 1 : Word, Language, Grammar, Springer Verlag,‎ 1997 (ISBN 978-3540604204)

Voir aussi[modifier | modifier le code]