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Théorème de Cayley

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En théorie des groupes, le théorème de Cayley est un résultat élémentaire[1] établissant que tout groupe se réalise comme groupe de permutations, c'est-à-dire comme sous-groupe d'un groupe symétrique :

Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G) des permutations de G. En particulier, si G est un groupe fini d'ordre n, il est isomorphe à un sous-groupe de Sn.

  • Si G est d'ordre n, le groupe Sn dans lequel il est plongé est d'ordre n!.
  • Le théorème se reformule en disant que tout groupe agit fidèlement sur lui-même. L'action que l'on construit est en fait même simplement transitive.

Utilisations

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Le théorème est habituellement attribué à Arthur Cayley et daté de 1854[2]. Cependant il est parfois aussi attribué à Camille Jordan[3], qui l'a formulé et prouvé plus explicitement dans un traité en 1870[4],[5] : les permutations tg sont « régulières », c'est-à-dire que pour g ≠ e, tg est sans point fixe et les cycles disjoints dont elle est produit sont tous de même longueur.

Notes et références

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  1. Sa preuve est très courte : voir par exemple le paragraphe correspondant du cours de théorie des groupes sur Wikiversité.
  2. (en) Arthur Cayley, « On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 », Philos. Mag., vol. 7, no 4,‎ , p. 40-47.
  3. Par exemple dans (en) William Burnside, Theory of Groups of Finite Order, Cambridge, (1re éd. 1911) (ISBN 978-0-486-49575-0, lire en ligne), p. 22.
  4. Camille Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris, Gauther-Villars, (lire en ligne), p. 60-61.
  5. Ces remarques sur la paternité du théorème proviennent de l'introduction de (en) Eric Nummela, « Cayley's Theorem for Topological Groups », Amer. Math. Month., vol. 87, no 3,‎ , p. 202-203 (JSTOR 2321608).

Article connexe

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