Corps de fonctions

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En mathématiques, un corps de fonctions est un corps commutatif F de type fini sur un corps de base K. On le note habituellement F/K, ou, si le contexte est clair, seulement F. De façon équivalente un corps de fonctions « à n variables » est une extension finie F d'un corps K(t1, … , tn) de fractions rationnelles à n indéterminées. F est alors de degré de transcendance n sur K.

  • Une extension de est un corps de fonctions (à variables) si et seulement si c'est le corps des fonctions rationnelles (en) d'une variété algébrique intègre sur (de dimension ).
  • Un corps de fonctions à une variable sur un corps fini est un corps global de caractéristique positive. C'est le corps des fonctions rationnelles d'une courbe projective lisse intègre sur un corps fini.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit un corps. Le corps des fractions rationnelles à une variable est un corps de fonctions sur .

Corps des constantes[modifier | modifier le code]

Soit un corps de fonctions. L'ensemble des éléments de algébriques sur est un corps, appelé corps des constantes.

Par exemple, est un corps de fonctions sur , son corps des constantes est .

Valuations et places[modifier | modifier le code]

Étant donné un corps de fonctions d'une variable. On définit la notion d' anneau de valuation de . C'est un sous anneau de qui contient , mais distincts de ces deux corps, et tel que

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Corps de fonctions (théorie des schémas) (en)