Théorème de Herbrand-Ribet

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Le théorème de Herbrand-Ribet est un renforcement du théorème de Kummer avec pour effet le fait que le nombre premier p divise le nombre de classes du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité si et seulement si p divise le numérateur du n-ième nombre de Bernoulli Bn pour un certain entier n strictement compris entre 0 et p-1. Le théorème de Herbrand-Ribet précise ce que veut dire, en particulier, l'éventuelle divisibilité par p de Bn.

Le groupe de Galois \Sigma du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité pour un nombre premier impair p, ℚ(ζ) avec \zeta^p = 1, est constitué des p-1 éléments \sigma_a, où \sigma_a est défini par le fait que \sigma_a(\zeta) = \zeta^a. Comme conséquence du petit théorème de Fermat, dans l'anneau des entiers p-adiquesp, nous avons p - 1 racines de l'unité, chacune d'elles est congrue mod p à un certain nombre dans l'intervalle 1 à p - 1 ; nous pouvons par conséquent définir un caractère de Dirichlet \omega (le caractère de Teichmüller) à valeurs dans ℤp en requérant que pour n premier à p, ω(n) soit congru à n modulo p. La partie p du groupe de classes est un ℤp-module, et nous pouvons appliquer les éléments de l'anneaup[Σ] vers elle et obtenir les éléments du groupe de classes. Nous pouvons maintenant définir un élément idempotent de l'anneau pour chaque n de 1 à p - 1, comme

\epsilon_n=\frac1{p-1}\sum_{a=1}^{p-1}\omega(a)^n\sigma_a^{-1}.

Nous pouvons maintenant séparer la partie p du groupe des classes d'idéaux G de ℚ(ζ) par identification des idempotents ; si G est le groupe des classes d'idéaux, alors \scriptstyle G_n=\epsilon_n(G).

Alors, nous avons le théorème de Herbrand-Ribet : G_n est non trivial si et seulement si p divise le nombre de Bernoulli B_{p - n}. La partie exprimant p divise B_{p - n} si G_n est non trivial est due à Jacques Herbrand. La réciproque (si p divise B_{p - n} alors G_n est non trivial) est due à Ken Ribet, et est considérablement plus difficile. Par la théorie des corps de classes, ceci n'est possible que s'il existe une extension non ramifiée du corps des racines p-ièmes de l'unité par une extension cyclique de degré p qui se comporte de la manière prescrite sous l'action de \Sigma ; Ribet démontra ceci en 1976, par une construction concrète d'une telle extension.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Théorie d'Iwasawa