Théorème de Herbrand-Ribet

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 Ne doit pas être confondu avec Théorème de Herbrand.

Le théorème de Herbrand-Ribet renforce le théorème de Kummer selon lequel le nombre premier p divise le nombre de classes du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité si et seulement si p divise le numérateur du n-ième nombre de Bernoulli Bn pour un certain entier n strictement compris entre 0 et p-1. Le théorème de Herbrand-Ribet précise ce que veut dire, en particulier, l'éventuelle divisibilité par p de Bn.

Le groupe de Galois du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité pour un nombre premier impair p, ℚ(ζ) avec , est constitué des éléments , où est défini par le fait que . Comme conséquence du petit théorème de Fermat, dans l'anneau des entiers p-adiquesp, nous avons racines de l'unité, chacune d'elles est congrue mod p à un certain nombre dans l'intervalle 1 à p - 1 ; nous pouvons par conséquent définir un caractère de Dirichlet (le caractère de Teichmüller) à valeurs dans ℤp en requérant que pour n premier à p, ω(n) soit congru à n modulo p. Le p-composant[1] du groupe de classes, c'est-à-dire le sous-groupe de ce groupe formé par les éléments dont les ordres sont des puissances de p, est un ℤp-module, et nous pouvons appliquer les éléments de l'anneaup[Σ] vers elle et obtenir les éléments du groupe de classes. Nous pouvons maintenant définir un élément idempotent de l'anneau pour chaque n de 1 à p - 1, comme

Nous pouvons maintenant séparer la p-composante du groupe G des classes d'idéaux de ℚ(ζ) par identification des idempotents ; si G est le groupe des classes d'idéaux, alors .

Alors, nous avons le théorème de Herbrand-Ribet : est non trivial si et seulement si p divise le nombre de Bernoulli . La partie exprimant p divise si est non trivial est due à Jacques Herbrand. La réciproque (si divise alors est non trivial) est due à Ken Ribet, et est considérablement plus difficile. Par la théorie des corps de classes, ceci n'est possible que s'il existe une extension non ramifiée du corps des racines -ièmes de l'unité par une extension cyclique de degré qui se comporte de la manière prescrite sous l'action de  ; Ribet démontra ceci en 1976, par une construction concrète d'une telle extension.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Théorie d'Iwasawa

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Appelé aussi la p-composante ou encore la composante p-primaire. Voir par exemple J.-P. Serre, Œuvres, Collected papers, vol. 1, Springer, 2003,partiellement consultable sur Google livres, p. 178, note 3. La composante p-primaire d'un groupe abélien fini est l'unique p-sous-groupe de Sylow de ce groupe.