Théorèmes A et B de Cartan

En mathématiques, les théorèmes A et B de Cartan sont deux résultats de Henri Cartan démontrés vers 1951, concernant un faisceau cohérent (en) $F$ sur une variété de Stein $X$ . Ils sont significatifs à la fois lorsqu'ils sont appliqués aux fonctions de plusieurs variables complexes et dans le développement général de la cohomologie des faisceaux.

Théorème A — $F$ est un faisceau généré par ses sections globales.

Le théorème B est énoncé en termes cohomologiques (une formulation que Cartan (1953, p. 51) attribue à J.-P. Serre):

Théorème B — $H^{p}(X,F)=0$ pour tout $p > 0$ .

Des propriétés analogues ont été établies par Serre (1957) pour les faisceaux cohérents en géométrie algébrique, lorsque $X$ est un schéma affine. L'analogue du théorème B dans ce contexte est le suivant (Hartshorne 1977, Theorem III.3.7) :

Théorème B (analogue schématique) — Soit $X$ un schéma affine, $F$ un faisceau quasi-cohérent de $O X$ - modules pour la topologie de Zariski sur $X$ . Alors $H^{p}(X,F)=0$ pour tout $p > 0$ .

Ces théorèmes ont de nombreuses applications. Par exemple, ils impliquent qu'une fonction holomorphe sur une sous-variété complexe fermée $Z$ , d'une variété Stein $X$ peut être étendue à une fonction holomorphe sur $X$ . Ces théorèmes ont été utilisés par Jean-Pierre Serre pour prouver le théorème GAGA.

Le théorème B est optimal dans le sens où si $H^{p}(X,F)=0$ pour tous faisceaux cohérents $F$ et $p > 0$ sur une variété complexe $X$ (resp. faisceaux quasi-cohérents $F$ sur un schéma noéthérien $X$ ), alors $X$ est Stein (resp. affine); voir (Serre 1956) (resp. (Serre 1957) et (Hartshorne 1977, Theorem III.3.7)).