Théorème du viriel

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En mécanique classique, le théorème du viriel est une relation générale qui s'applique à un système de plusieurs corps en interaction. Il relie les moyennes temporelles de ses énergies cinétique et potentielle. Il fut proposé en 1870 par Rudolf Clausius qui travaillait alors sur les fondements de la thermodynamique et cherchait à relier les notions de température et de chaleur aux mouvements des molécules de gaz.

Historique[modifier | modifier le code]

Le terme viriel, du latin vis (force), et le théorème sont tous deux proposés par Rudolf Clausius en 1870[1]. À noter cependant que le terme viriel, en français, est un synonyme vieilli de potentiel.

Énoncé du théorème[modifier | modifier le code]

Énoncé d'origine[modifier | modifier le code]

Tel qu'énoncé à l'origine par Clausius, le théorème s'applique à un ensemble stable de particules de masse m repérées par leurs positions \vec r et leurs vitesses \vec v, sur lesquelles s'exercent des forces \vec F. Il s'écrit :


\sum \frac{1}{2} m \overline{v^2} = - \frac{1}{2}\sum\overline{\vec{r}\cdot\vec{F}}

où la barre désigne la moyenne temporelle des quantités correspondantes.

Cas particulier[modifier | modifier le code]

On en retient souvent le cas particulier suivant :

Théorème du viriel — Dans un système en équilibre dynamique, l'énergie cinétique E_c égale l'opposé de la moitié de l'énergie potentielle E_p :

2E_c + E_p = 0.

Ce résultat est une simple conséquence du principe fondamental de la dynamique, appliqué à un ensemble de masses en interaction gravitationnelle réciproque (problème à N corps).

L'énergie totale E = Ec + Ep vaut donc

E = \tfrac12 E_p = - E_c.

Démonstration[modifier | modifier le code]

En dynamique à N-corps[modifier | modifier le code]

Hypothèse
Soit un système isolé de N corps massifs de masse constante, chaque corps ne subit donc que les seules forces gravitationnelles de ses voisins.

D’après la loi universelle de la gravitation, la force gravitationnelle exercée sur le corps i s’écrit :

F_i = - \sum_\overset{j}{j \ne i} G m_i m_j \frac{r_i - r_j}{|r_i - r_j|^3}

D’après le principe fondamental de la dynamique, cette même force gravitationnelle exercée sur le corps i s’écrit :

F_i = m_i \frac{\mathrm{d}^2 r_i}{\mathrm{d} t^2}

On notera que la première expression fait intervenir la masse grave tandis que la seconde fait intervenir la masse inerte, le principe d'équivalence permettant cependant de les identifier.

En multipliant par r_i et en sommant sur toutes les masses i, on trouve :

- \sum_\overset{i, j}{i \ne j} G m_i m_j \frac{r_i (r_i - r_j)}{|r_i - r_j|^3} = \sum_i F_i r_i = \sum_i m_i r_i \frac{\mathrm{d}^2 r_i}{\mathrm{d} t^2} \quad (1)

Par échange des indices muets, on a :

\sum_\overset{i, j}{i \ne j} G m_i m_j \frac{r_i (r_i - r_j)}{|r_i - r_j|^3} = \sum_\overset{i, j}{i \ne j} G m_i m_j \frac{r_j (r_j - r_i)}{|r_j - r_i|^3}

d’où :

- \sum_\overset{i, j}{i \ne j} G m_i m_j \frac{r_i (r_i - r_j)}{|r_i - r_j|^3} = - \frac{1}{2} \sum_\overset{i, j}{i \ne j} G m_i m_j \left(\frac{r_i (r_i - r_j)}{|r_i - r_j|^3}  + \frac{r_j (r_j - r_i)}{|r_j - r_i|^3}\right) = - \frac{1}{2} \sum_\overset{i, j}{i \ne j} G m_i m_j \frac{(r_i - r_j)^2}{|r_i - r_j|^3} = - \frac{1}{2} \sum_\overset{i, j}{i \ne j} G \frac{m_i m_j}{|r_i - r_j|} \quad (2)

En calculant :

\frac{\mathrm{d}^2 (r_i^2)}{\mathrm{d} t^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left(2 r_i \frac{\mathrm{d} r_i}{\mathrm{d} t}\right) = 2 \left(\frac{\mathrm{d} r_i}{\mathrm{d} t}\right)^2 + 2 r_i \frac{\mathrm{d}^2 r_i}{\mathrm{d} t^2}

il vient :

r_i \frac{\mathrm{d}^2 r_i}{\mathrm{d} t^2} = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}^2 (r_i^2)}{\mathrm{d} t^2} - \left(\frac{\mathrm{d} r_i}{\mathrm{d} t}\right)^2

d’où, en rappelant la constance de la masse par rapport au temps :

\sum_i m_i r_i \frac{\mathrm{d}^2 r_i}{\mathrm{d} t^2} = \frac{1}{2} \sum_i m_i \frac{\mathrm{d}^2 (r_i^2)}{\mathrm{d} t^2} - \sum_i m_i \left(\frac{\mathrm{d} r_i}{\mathrm{d} t}\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2} \left(\sum_i m_i r_i^2\right) - \sum_i m_i \left(\frac{\mathrm{d} r_i}{\mathrm{d} t}\right)^2 \quad (3)

En introduisant les égalités (2) et (3) dans (1), il vient :

- \frac{1}{2} \sum_\overset{i, j}{i \ne j} G \frac{m_i m_j}{|r_i - r_j|} + \sum_i m_i \left(\frac{\mathrm{d} r_i}{\mathrm{d} t}\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2} \left(\sum_i m_i r_i^2\right) \quad (4)

On reconnaît dans cette équation :

E_p = - \frac{1}{2} \sum_\overset{i, j}{i \ne j} G \frac{m_i m_j}{|r_i - r_j|}
E_c = \frac{1}{2} \sum_i m_i \left(\frac{\mathrm{d} r_i}{\mathrm{d} t}\right)^2
I = \sum_i m_i r_i^2

L’équation (4) se réécrit donc :

E_p + 2 E_c = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}^2 I}{\mathrm{d} t^2}

Le système étant isolé, I est constant, donc :

E_p + 2 E_c = 0

ce qu'il fallait démontrer.

En physique quantique[modifier | modifier le code]

Énoncé 
2 \langle T \rangle = n \langle V \rangle
avec \langle T \rangle correspond à la valeur moyenne de l'énergie cinétique
et \langle V \rangle correspond à la valeur moyenne du potentiel s'exprimant V(x)=\lambda \cdot x^{n}
Démonstration

Montrons que \langle [H,XP] \rangle = 0 :

\langle [H,XP] \rangle = \langle \phi|HXP| \phi\rangle - \langle \phi|XPH| \phi\rangle

Or, H| \phi\rangle = E | \phi\rangle et \langle \phi|H = E \langle \phi|

Ainsi \langle [H,XP] \rangle = E \langle \phi|XP| \phi\rangle - E \langle \phi|XP| \phi\rangle=0 (1)

Travaillons sur [H,XP] :

[H,XP] = HXP - XPH = HXP -XHP +XHP -XPH

Alors, [H,XP] = [H,X]P + X[H,P] (2)

Exprimons [H,X] et [H,P] :

[H,X] = -[X,H] = \frac{-[X,P^2]}{2m}  = \frac{-ih \cdot P}{m}
[H,P] = [V(x),P] = ih \frac{\partial V}{\partial x} (3)

Revenons sur \langle [H,XP]\rangle = 0 :

\langle [H,XP]\rangle = 0

Alors, en utilisant (2), on trouve:

0 = \langle [H,X]P\rangle + \langle X [H,P]\rangle

De même, en utilisant (3), on trouve

 \left\langle \frac{P^2}{m}\right\rangle = n \langle V\rangle

D'où le résultat espéré :

2 \langle T\rangle = n \langle V\rangle

En thermodynamique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Équation du viriel.

Applications[modifier | modifier le code]

En astrophysique[modifier | modifier le code]

De manière plus générale, le théorème du viriel est très utilisé en astrophysique[2]. Notamment, il peut être utilisé pour estimer la limite de Chandrasekhar sur la masse des naines blanches[3],[4].

Le théorème du viriel est très utilisé en dynamique galactique. Il permet par exemple d'obtenir rapidement un ordre de grandeur de la masse totale M d'un amas d'étoiles si l'on connaît la vitesse moyenne V des étoiles dans l'amas et la distance moyenne R entre deux étoiles de l'amas, qui peuvent être estimées à partir des observations :

  • Ec ~ ½MV²
  • Ep ~ - GM²/2R

Le facteur 2 dans Ep provient du fait que pour un système de particules il faut éviter de compter deux fois l'énergie potentielle associée à un couple.

Il vient alors 2Ec = - Ep ⟺ M = 2RV²/G


L'énigme de la matière noire[modifier | modifier le code]

Comme il est possible par ailleurs de déterminer la masse des étoiles visibles à partir de leur luminosité, on peut comparer la masse totale obtenue par le théorème du viriel à la masse visible. Fritz Zwicky fut le premier à faire ce calcul, et constata une différence considérable (facteur 10 à l'échelle des galaxies et facteur 100 à l'échelle des amas) entre les deux grandeurs, ce qui a conduit les astrophysiciens à supposer l'existence de matière noire, c'est-à-dire non détectable par nos instruments. La seule autre explication possible serait que la loi de la gravitation n'est pas valable à grande échelle, mais aucune piste en ce sens n'a donné de résultat à ce jour.

On peut montrer que cette matière noire domine la masse des galaxies à l'extérieur du disque, dans le halo où elle s'étend jusqu'à 100-200 kiloparsecs (kpc) – contre 10-20 kpc pour la masse visible.

En thermodynamique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Pression cinétique.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (de) Rudolf Clausius, « Ueber einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz », Annalen der Physik, vol. 141,‎ 1870, p. 124–130 (lire en ligne)
    (en) Rudolf Clausius, « On a Mechanical Theorem Applicable to Heat », Philosophical Magazine, Ser. 4, vol. 40,‎ 1870, p. 122–127
  2. (en) Collins GW, The Virial Theorem in Stellar Astrophysics, Pachart Press,‎ 1978 (présentation en ligne)
  3. (en) Chandrasekhar S, An Introduction to the Study of Stellar Structure, Chicago, University of Chicago Press,‎ 1939, p. 49–53
  4. (en) Kourganoff V, Introduction to Advanced Astrophysics, Dordrecht, Holland, D. Reidel,‎ 1980, p. 59–60, 134–140, 181–184

Lien externe[modifier | modifier le code]