Théorème de Mazur-Ulam

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En analyse, le théorème de Mazur-Ulam caractérise les isométries bijectives entre espaces vectoriels normés réels. Il a été publié par Mazur et Ulam en 1932, en réponse à une question posée par Banach[1].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème —  Toute surjection isométrique F d'un espace vectoriel normé réel dans un autre telle que F(0) = 0 est additive.

Il en résulte immédiatement[2],[3] que F est linéaire et que si l'on n'impose plus F(0) = 0, F est affine[4].

Remarques[modifier | modifier le code]

L'injectivité de F est assurée par son caractère isométrique mais l'hypothèse de surjectivité est indispensable, à moins que l'espace d'arrivée soit strictement convexe[5].

La version complexe du théorème n'est pas valide : Jean Bourgain a démontré en 1986, par une méthode probabiliste, l'existence d'un espace de Banach complexe qui n'est même pas isomorphe, en tant que ℂ-espace vectoriel topologique, à son conjugué et Nigel Kalton (de) en a fourni un exemple explicite[6]. Ceci contraste avec le fait que deux espaces de Banach (ou même de Fréchet) sont homéomorphes dès qu'ils sont séparables ou plus généralement, dès qu'ils ont même densité[7].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Problème d'Aleksandrov-Rassias (en)